Das Vollständigkeitsaxiom
Die bisherigen Axiome legen ℝ nicht eindeutig fest: Alle Axiome gelten auch für die rationalen Zahlen (und weiter auch für die algebraischen Zahlen). Der wesentliche Unterschied wird erst durch Aussagen erfasst, die die Nichtexistenz von Lücken in ℝ zum Ausdruck bringen. Eine Möglichkeit ist das folgende Axiom:
(K16) | Jede nichtleere und nach oben beschränkte Teilmenge von ℝ besitzt ein Supremum. | lineare Vollständigkeit |
Das Axiom (K16) kann äquivalent durch die beiden folgenden Axiome ersetzt werden:
(K16)′ | Ist (xn)n ∈ ℕ eine Cauchy-Folge, so existiert limn xn. | (metrische) Vollständigkeit |
(K17) | ∀x, y > 0 ∃n ∈ ℕ n x > y | Archimedisches Axiom |