Übungen

Übung 1

Zeigen Sie in Analogie zum Beweis der Irrationalität von 2, dass 3 irrational ist. Warum scheitert der Beweis bei 4? Auf welche Zahlen lässt sich das Argument allgemein anwenden?

Übung 2

Recherchieren Sie den Beweis der Irrationalität von 2, der sich in den „Elementen“ des Euklid findet. Vergleichen Sie diesen Beweis mit unserem Argument.

Übung 3

Bestimmen Sie die Infima und Suprema der folgenden Mengen:

(a)

[ 0, 1 ] ∪ { 2 }, 

(b)

] 0, 1 [ ∪ ] 2, 3 [ , 

(c)

{ sin(x) | 0 ≤ x ≤ π/2 },

(d)

{ (−1)n/n | n ≥ 1 },

(e)

{ 3/10,  33/100,  333/1000,  … },

(f)

{ 1/2 + 1/4 + … + 1/2n | n ≥ 1 },

(g)

{ sup({ 1 + 1/k | k ≥ n }) | n ≥ 1 }.

Übung 4

Zeigen Sie, dass die Eigenschaft

sup(X + Y)  =  sup(X) + sup(Y)

unter den eingeführten Konventionen für alle nichtleeren (nicht notwendig beschränkten) X, Y ⊆ ℝ gültig ist. Kann man auch leere Teilmengen zulassen?

Übung 5

Zeigen Sie, dass für alle nichtleeren X, Y ⊆ ℝ gilt:

(1)

sup(c X)  =  c sup(X)  für alle c > 0,

(2)

sup(X · Y)  =  sup(X) sup(Y),  falls  X, Y ⊆ ℝ+,

(3)

X ⊆ Y  impliziert  sup(X) ≤ sup(Y),

(4)

inf (X)  =  −sup(−X),  sup(X)  =  −inf (−X).

Gelten diese Eigenschafen auch für leere Mengen? Begründen Sie Ihre Antworten.

Übung 6

Zeigen Sie ohne Verwendung des Vollständigkeitsaxioms, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(a)

Das Archimedische Axiom.

(b)

ℕ ist nach oben unbeschränkt in ℝ.

Übung 7

Beweisen Sie das Archimedische Axiom mit Hilfe des Vollständigkeitsaxioms.

[ Es genügt nach der vorangehenden Übung zu zeigen, dass die Menge ℕ nach oben unbeschränkt in ℝ ist. Annahme nicht. Dann existiert s = sup(ℕ) nach dem Vollständigkeitsaxiom. Zeigen Sie, dass ein n*  ∈  ℕ existiert mit s − 1 < n* und leiten Sie hieraus einen Widerspruch ab. ]

Übung 8

Nehmen Sie an, dass ℚ dicht in ℝ ist und zeigen Sie mit Hilfe dieser Voraussetzung das Archimedische Axiom.

Übung 9

Begründen Sie die Dichtheit der rationalen Zahlen in ℝ mit Hilfe der Dezimalbruchentwicklung.

Übung 10

Sei D = { ± n/2m | n, m  ∈  ℕ } ⊆ ℚ. Geben Sie eine möglichst einfache beschränkte nichtleere Teilmenge von D an, deren Supremum in ℚ − D liegt. Stellen Sie eine Analogie zu 2 her.

Übung 11

Definieren Sie die Menge D der vorangehenden Übung mit Hilfe von Dualdarstellung.

Übung 12

Sei b eine natürliche Zahl mit b ≥ 2.

(a)

Geben Sie (ohne Begründung) alle möglichen b-adischen Darstellung der folgenden reellen Zahlen an:

1,  1b,  ab − 1 für 1 ≤ a < b,  12.

(b)

Charakterisieren Sie (mit kurzer Begründung) alle reellen Zahlen x > 0, die genau zwei b-adische Darstellungen besitzen. Geben Sie einige Beispiele an.

Übung 13

Erstellen Sie Diagramme zu den im Text beschriebenen Visualisierungen der Dezimaldarstellung für eine reelle Zahl x  ∈  [ 0, 1 ]:

(1)

Approximation am Zahlenstrahl von links

(2)

wiederholte Intervallteilung (Baumstruktur)

Erläutern Sie das Phänomen der Zweideutigkeit für beide Visualisierungen. Verallgemeinern Sie zudem die Visualisierungen auf b-adische Darstellungen und betrachten Sie speziell den Fall b = 2 für die Visualisierung (2).