Die Limesregeln

 Für die Berechnung von Grenzwerten sind unentbehrlich:

Satz (Limesregeln)

Seien (xn)n ∈ ℕ und (yn)n ∈ ℕ konvergente Folgen in ℝ. Dann gilt:

(a)

limn (xn + yn)  =  limn xn  +  limn yn,

(b)

limn (c xn)  =  c limn xn  für alle c  ∈  ℝ,

(c)

limn (xn − yn)  =  limn xn  −  limn yn,

(d)

limn (xn yn)  =  limn xn  limn yn.

(e)

limn (xnyn)  =  limn xnlimn yn,  falls yn ≠ 0 für alle n und limn yn ≠ 0.

 Die ε-Beweise dieser Regeln diskutieren wir in den Übungen.

Beispiele

(1)

Es gelte limn xn = x. Dann gilt

limn (xn2)  =  limn (xn xn)  =  (limn xn) · (limn xn)  =  x x  =  x2.

Analoges gilt für höhere Exponenten.

(2)

Es gilt

limn ≥ 1 2 + n3n3  =  limn ≥ 1 (2n3  +  n3n3)  =

2 (limn ≥ 1 1n)3  +  limn ≥ 1 1  =  2 · 03  +  1  =  1.