Übungen

Übung 1

Zeichnen Sie Diagramme des Typs I und II zu einigen Folgen Ihrer Wahl. Diskutieren Sie die Unterschiede der beiden Typen und die Frage, ob sich sich für gewisse Folgen ein Typ besser eignet als der andere.

Übung 2

Erläutern Sie die Konvergenz und Divergenz von Folgen mit Hilfe der Folgendiagramme von Typ I und II. Betrachten Sie dabei zunächst einen anschaulichen Grenzwertbegriff und in einer zweiten Stufe die ε-Definition.

Übung 3

Zeigen Sie mit Hilfe der Epsilontik, dass ein Grenzwert einer konvergenten Folge (xn)n ∈ ℕ eindeutig bestimmt ist. Zeichnen Sie ein Diagramm, das die Beweisidee erläutert.

Übung 4

Sei (xn)n ∈ ℕ eine konvergente Folge in ℝ. Zeigen Sie mit Hilfe der Epsilontik, dass (xn)n ∈ ℕ beschränkt ist.

Übung 5

Seien (xn)n ∈ ℕ und (yn)n ∈ ℕ gegen x bzw. y konvergente Folgen in ℝ. Zeigen Sie, dass limn (xn + yn) = x + y. Erstellen Sie ein Diagramm zur Illustration Ihrer Argumentation.

Übung 6

Beweisen Sie die restlichen Limesregeln für Folgen.

[ Zum Beweis der Regel für das Produkt zweier Folgen: Betrachten Sie ein s mit der Eigenschaft

|x|, |y|, |xn|, |yn|  <  s  für alle n.

Wählen Sie nun für ein gegebenes ε > 0 den Index n0 derart, dass

|x − xn|, |y − yn| < ε/(2s)  für alle n ≥ n0.

Zeigen Sie, dass |xy − xn yn| < ε für alle n ≥ n0. ]

Übung 7

Beweisen Sie das Konvergenzkriterium für Pendelfolgen.

[ Zerlegen Sie eine Pendelfolge in zwei monotone Folgen und verwenden Sie das Konvergenzkriterium für monotone Folgen. ]

Übung 8

Führen Sie die Beweisskizze zur Charakterisierung der konvergenten Folgen durch Cauchy-Folgen im Detail aus.

Übung 9

Beweisen Sie das Majoranten-Kriterium.

Übung 10

Erstellen Sie ein Diagramm des Typs II für die Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe.

Übung 11

(a)

Bestimmen Sie die Partialsummen sn und den Wert der Reihe

∑n ≥ 1 1n(n + 1)  =  11 · 2  +  12 · 3  +  13 · 4  +  …

(b)

Zeigen Sie mit Hilfe von (a), dass die Reihe ∑n ≥ 1 1/n2 konvergiert.

(c)

Lässt sich das Quotientenkriterium verwenden, um die Konvergenz der Reihe ∑n ≥ 1 1/n2 zu beweisen?

Übung 12

Untersuchen Sie die folgende unendliche Reihe auf Konvergenz:

∑n ≥ 1 n22n

Übung 13

Visualisieren Sie die folgenden geometrischen Reihen:

∑n ≥ 1 12n  =  1,  ∑n ≥ 1 14n  =  13,  ∑n ≥ 1 (−12)n  =  23.

Übung 14

Wir betrachten die unendliche Reihe

∑n ≥ 1 n2n  =  12  +  24  +  38  +  416  +  532  +  …

(a)

Berechnen Sie einige Partialsummen sn und vermuten Sie, welchen Wert die Reihe besitzt.

(b)

Ordnen Sie die Summanden in der aufgespalteten Form

12,  14,  14,  18,  18,  18,  …

so an, dass Sie den Wert der Reihe bestimmen können.

Übung 15

Sei ∑n xn eine unendliche Reihe wie im Leibniz-Kriterium. Zeigen Sie, dass die Partialsummen der Reihe eine konvergente Pendelfolge bilden. Erstellen Sie ein Diagramm zur Illustration.

Übung 16

Recherchieren Sie nach weiteren Beweisen für die Divergenz der harmonischen Reihe. Vergleichen Sie einen der Beweise mit dem hier geführten Beweis durch Klammerung.

Übung 17

Recherchieren Sie, was über die unendlichen Reihen der Form ∑n ≥ 1 1/nk mit k  ∈  ℕ* bekannt und nicht bekannt ist.