Die imaginäre Einheit

Definition (imaginäre Einheit)

Wir setzen i = (0, 1)  ∈  ℂ. Die komplexe Zahl i heißt die imaginäre Einheit.

 Nach Definition der Multiplikation gilt

i2  =  (0, 1) · (0, 1)  =  (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0)  =  (−1, 0)  =  −1.

Mit Hilfe der Multiplikationsregel können wir so argumentieren: Die komplexe Zahl i2 = i · i hat die Länge 1 · 1 und den Winkel π/2 + π/2 = π, sodass

i2  =  (−1, 0)  =  −1.

Der Vektor i = (0, 1) wird durch Multiplikation mit i um π/2 gedreht, sodass sich (−1, 0) = −1 ergibt.

 Allgemeiner gilt für alle (x, y)  ∈  ℂ

i (x, y)  =  (0, 1) · (x, y)  =  (0 x − 1 y,  0 y + 1 x)  =  (−y, x).

Damit ist i (x, y) der um π/2 gedrehte Vektor (x, y), was wir erneut auch ohne Rechnung geometrisch einsehen können: Die Länge von i (x, y) ist die Länge von (x, y) und der Winkel von i (x, y) ist der Winkel von (x, y) plus π/2. Wir halten fest:

Drehungen um π/2

Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit i dreht z um π/2 gegen den Uhrzeigersinn. Die Multiplikation von z mit (−i) dreht z um π/2 im Uhrzeigersinn.

 Eine einfache Anwendung dieser Überlegungen st:

Satz (Standarddarstellung komplexer Zahlen)

Für alle z = (x, y)  ∈  ℂ gilt z = x + i y.

Beweis

Sei z = (x, y)  ∈  ℂ. Dann gilt

z  =  (x, 0) + (0, y)  =  x + i (y, 0)  =  x  +  i y.

 Mit Hilfe der Standarddarstellung, i2 = −1 und den üblichen Rechenregeln lässt sich die Formel für die komplexe Multiplikation reproduzieren (vgl. obige Motivation I):

(x1, y1) · (x2, y2) =  (x1 + i y1)  ·  (x2 + i y2)
=  x1x2  +  i x1 y2  +  i y1 x2  +  i2 y1 y2
=  (x1 x2 − y1 y2)  +  i (x1 y2 + y1 x2)
=  (x1 x2 − y1 y2,  x1 y2 + y1 x2).