Die komplexen Einheitswurzeln

 Wir definieren nun spezielle n-te Wurzeln:

 Die n-ten Einheitswurzeln sind nach Definition genau die Nullstellen des Polynoms f : ℂ → ℂ mit

f (z)  =  zⁿ  −  1  für alle z  ∈  ℂ.

Für eine n-te Einheitswurzel w gilt wⁿ = 1, sodass w eine n-te Wurzel der 1 ist. Im algebraischen Jargon wird die 1 auch als (multiplikative) Einheit bezeichnet, was die Namensgebung als Einheitswurzel motiviert.

 Mit der geometrischen Deutung der Multiplikation können wir die n-ten Einheitswurzeln leicht angeben, wodurch der Fundamentalsatz der Algebra für wichtige Spezialfälle bereits bewiesen ist. Schreiben wir eine komplexe Zahl w in Polarkoordinaten (r, φ), so gilt wⁿ = (rⁿ, nφ). Damit gilt wⁿ = (1, 0) genau dann, wenn eine ganze Zahl k existiert mit

(rⁿ, nφ)  =  (1, k2π).

Damit sind genau die komplexen Zahlen

w_k  =  (1, k2π/n)  für alle k  ∈  ℤ

n-te Einheitswurzeln. Beschränken wir k auf 0, …, n − 1, so erhalten wir alle paarweise verschiedenen Wurzeln. Damit haben wir gezeigt:

 Traditionell werden die komplexen Einheitswurzeln mit dem griechischen Buchstaben Zeta bezeichnet. Wir setzen also

ζⁿ_k  =  (cos (^k 2π_n),  sin (^k 2π_n))  für alle n ≥ 1 und k  ∈  ℤ.

Ist n fest, schreiben wir nur ζ_k. Bei festem n gilt für alle k, m  ∈  ℤ:

1  =  ζ₀  =  ζ_kn,  ζ_k ζ_m  =  ζ_k + m,  (ζ₁)^k  =  ζ_k,  (ζ_k)^m  =  ζ_m k.