Ein anschaulicher Beweis des Fundamentalsatzes, II
Einen weiteren sehr anschaulichen Beweis erhalten wir, wenn wir die Bilder f [ Kr ] = { f (z) | z ∈ Kr } von zentrischen Kreisen Kr = { z ∈ ℂ | |z| = r } unter einem komplexen Polynom f untersuchen. Konkret betrachten wir f : ℂ → ℝ mit
f (z) = z5 + i z4 − 2z3 + z2 − (1 + i)z + 2 + i für alle z ∈ ℂ.
Das Bild f [ K0 ] ist die einelementige Menge { 2 + i }. Ist dagegen R sehr groß und z ∈ KR, so ist f (z) ungefähr gleich z5. Das Bild von KR unter dem Polynom z5 ist der (fünfmal durchlaufene) Kreis KR5. Da sich f [ KR ] an KR5 annähert, liegt der Nullpunkt im Inneren von f [ KR ]. Der Übergang von r = 0 zu r = R ist stetig, sodass es ein r* ∈ [ 0, R ] und ein z* ∈ Kr* geben muss mit f (z*) = 0. Die folgenden Abbildungen visualisieren diese stetige Verformung.
Die Bilder f [ Kr ] der in fünf Farben aufgeteilten Kreise Kr für r = 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8. Die rote Linie im dritten Diagramm trifft den Ursprung: Es gilt f (−i) = 0 für − i ∈ K1. Die Mengen f [ Kr ] streben gegen fünf überlagerte Kreise Kr5, wenn r gegen unendlich strebt. Für das fünfte Diagramm mit r = 8 gilt 85 = 32786.
Die vier anderen Nullstellen von f. Die gerundeten Radien sind 0.909 (gelb), 1.005 (blau), 1.352 (violett), 1.809 (grün).
Detailausschnitte der Radien 1 und 1,005 (gerundet)