Übungen

Übung 1

Eine komplexe Funktion f : ℂ → ℂ lässt sich wie beschrieben mit der Farbkreismethode visualisieren, indem wir jedem Winkel φ  ∈  [ 0, 2π [ eine Farbe und jedem r ≥ 0 eine Farbintensität (weiß für r = 0, dunkel für große r) zuweisen. Jedes z = (r, φ) in Polarkoordinaten wird dann mit der Farbe f (z) gefärbt. Diskutieren Sie qualitativ eine derartige Färbung für die Funktionen

Übung 2

Geben Sie die komplexen Lösungen der Gleichung

3z²  −  2z  +  1  =  0

in kartesischen Koordinaten an.

Übung 3

Sei n ≥ 1. Zeigen Sie:

Übung 4

Seien n, m ≥ 1. In welchem Fall ist jede n-te Einheitswurzel auch eine m-te Einheitswurzel?

Übung 5

Sei n ≥ 1. Geben Sie alle Nullstellen des Polynoms f : ℂ → ℂ mit

f (z)  =  zⁿ + 1  für alle z  ∈  ℂ

polar und kartesisch an. Zeichnen Sie die Nullstellen und beschreiben Sie ihren Zusammenhang mit den komplexen Einheitswurzeln.

Übung 6

Seien n ≥ 1 und d  ∈  ℂ. Geben Sie (in Verallgemeinerung der vorangehenden Übung) alle Nullstellen des Polynoms f : ℂ → ℂ mit

f (z)  =  zⁿ − d  für alle z  ∈  ℂ

polar und kartesisch an und erstellen Sie ein erläuterndes Diagramm.

Übung 7

Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal den Punkt P = (x₁, 0) mit

x₁  =  cos(2π/5)  =  $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

Konstruieren Sie mit Hilfe von P ein regelmäßiges Pentagon.

Übung 8

Wie bei der Diskussion des regelmäßigen Fünfecks sei

z  =  ζ⁵₁  =  (cos(2π/5), sin(2π/5)).

Wir setzen

a  =  |1 − z|,  b  =  |1 − z²|,

sodass a die Länge der Seiten und b die Länge der Diagonalen des Pentagons 1, z, z², z³, z⁴ ist. Erstellen Sie eine Skizze und zeigen Sie mit Hilfe komplexer Zahlen, dass

a  =  $\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}$,  ^b_a  =  $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$  (goldener Schnitt).