Die Exponentialfunktion im Komplexen

 Die reelle Exponentialfunktion exp : ℝ → ℝ hatten wir über ihre Ableitung und ihren Wert an der Stelle 0 charakterisiert: Sie ist die eindeutige Funktion f : ℝ → ℝ mit f ′ = f und f (0) = 1. Wesentliche Eigenschaften sind das Additionstheorem

exp(x + y)  =  exp(x) exp(y)  für alle x, y  ∈  ℝ

und die für alle x  ∈  ℝ gültige Reihendarstellung

exp(x)  =  ∑_n ^xn_n!  =  1  +  x  +  ^x2₂  +  …  +  ^xn_n!  +  …,

die durch gliedweises Differenzieren die Ableitungsregel exp′ = exp reproduziert. All dies lässt sich nach ℂ übertragen, sodass folgende Definition möglich ist:

Erneut folgt hieraus das Additionstheorem

exp(z + w)  =  exp(z) exp(w)  für alle z, w  ∈  ℂ,

welches die Notation

e^z  für  exp(z)(Exponentialschreibweise im Komplexen)

motiviert.

 Für alle z  ∈  ℂ gilt die Reihendarstellung

exp(z)  =  ∑_n ^zn_n!  =  1 + z + ^z2₂ + … + ^zn_n! + …(komplexe Exponentialreihe)

 Die komplexe Exponentialfunktion setzt die reelle Exponentialfunktion fort, d. h. für alle x  ∈  ℝ ⊆ ℂ stimmen die Werte der beiden Funktionen überein.

 Die Konvergenz der komplexen Exponentialreihe lässt sich wieder mit Hilfe des Quotientenkriteriums und der geometrischen Reihe nachweisen. Letztere wird wie in ℝ eingeführt. Für die komplexe geometrische Summe gilt

∑_k ≤ n z^k  =  1  +  z  +  z²  +  …  +  zⁿ  =  ^{1 − zn + 1}_1 − z  für alle z ≠ 1,

sodass die komplexe geometrische Reihe im Inneren des Einheitskreises konvergiert:

∑_n zⁿ  =  1  +  z  +  z²  +  …  +  zⁿ  +  …  =  ¹_1 − z  für alle z mit |z| < 1.