Reelle Vektoren
Definition (die Räume ℝn, n-dimensionaler reeller Vektor)
Sei n ≥ 1. Dann setzen wir
ℝn = { (v1, …, vn) | v1, …, vn ∈ ℝ }.
Die Elemente des ℝn heißen n-dimensionale reelle Vektoren oder reelle Vektoren der Länge oder Dimension n. Ist v = (v1, …, vn) ∈ ℝn, so heißen die reellen Zahlen v1, …, vn die Komponenten des Vektors v. Genauer heißt vi die i-te Komponente von v für alle 1 ≤ i ≤ n.
Wir betrachten vor allem die Räume
ℝ2 = { (v1, v2) | v1, v2 ∈ ℝ },(reelle Ebene)
ℝ3 = { (v1, v2, v3) | v1, v2, v3 ∈ ℝ }.(dreidimensionaler reeller Raum)
Viele (nicht alle) Definitionen lassen sich aber allgemein für den ℝn einführen.
Notation
Wie notieren Vektoren ohne Pfeile oder Striche. Bevorzugt verwenden wir die Zeichen v, w, u für Vektoren. Ein Index i bezeichnet, wenn nichts anderes gesagt ist, die i-te Komponente eines Vektors. Damit gilt für eine gegebene Dimension n zum Beispiel
v = (v1, …, vn), w = (w1, …, wn), u = (u1, …, un).
Vektoren des ℝ2 und ℝ3 notieren wir oft auch in der Form
v = (x, y) bzw. v = (x, y, z).
Den Raum ℝ1 identifizieren wir mit ℝ.
Die Index-Notation ist auch möglich, wenn mehrere Vektoren betrachtet werden. Sind zum Beispiel v1, v2, v3 drei Vektoren des ℝ3, so ist v2, 3 die dritte Komponente des Vektors v2. Wir schreiben auch kurz vij statt vi, j.
Definition (Nullvektor, kanonische Einheitsvektoren)
Sei n ≥ 1. Der Vektor 0 = (0, …, 0) ∈ ℝn heißt der Nullvektor oder Nullpunkt des ℝn. Wir bezeichnen ihn mit 0. Weiter setzen wir
e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, …, 0), … en = (0, …, 0, 1).
Die Vektoren e1, …, en ∈ ℝn heißen die kanonischen Einheits- oder Basisvektoren des ℝn.
Die mehrfache Bedeutung der 0 führt in der Regel nicht zu Verwechslungen. Wer möchte, kann 0 statt 0 schreiben.