Übungen

Übung 1

Visualisieren Sie die Vektoraddition, Vektorsubtraktion und Skalarmultiplikation durch Diagramme für den Fall n = 2.

Übung 2

Sei n ≥ 1. Zeigen Sie, dass für alle v, w, u  ∈  ℝⁿ gilt:

v  +  (w  +  u)  =  (v  +  w)  +  u,(Assoziativität)

v  +  0  =  0  +  v  =  v,(Neutralität des Nullvektors)

v  +  (− v)  =  (− v)  +  v  =  0,(Inversenbildung)

v  +  w  =  w  +  v.(Kommutativität)

Übung 3

Sei n ≥ 1. Zeigen Sie, dass für alle λ, μ  ∈  ℝ und alle v, w  ∈  ℝⁿ gilt:

Übung 4

Zeigen Sie die Dreiecksungleichung für die Maximumsnorm.

Übung 5

Die 1-Norm auf dem ℝⁿ ist definiert durch

∥v∥₁  =  |v₁| + … + |v_n|  für alle v  ∈  ℝⁿ.

Übung 6

Übung 7

Sei n ≥ 1. Zeigen Sie, dass für alle λ  ∈  ℝ und alle v  ∈  ℝⁿ gilt:

Übung 8

Sei n ≥ 1. Beweisen Sie mit Hilfe der Dreiecksungleichung für die Euklidische Norm, dass für alle v, w  ∈  ℝⁿ gilt:

Übung 9

Sei n ≥ 1. Zeigen Sie, dass für alle λ  ∈  ℝ und alle v, w, v′, w′  ∈  ℝⁿ gilt:

Übung 10

Sei n ≥ 1. Zeigen Sie, dass für alle v  ∈  ℝⁿ gilt:

v  =  〈 e₁, v 〉 e₁  +  …  +  〈 e_n, v 〉 e_n

wobei e₁ = (1, 0, …, 0), …, e_n = (0, …, 0, 1) die kanonischen Einheitsvektoren des ℝⁿ sind.

Übung 11

Sei n ≥ 1. Formulieren und beweisen Sie eine dritte binomische Formel für das Euklidische Skalarprodukt im ℝⁿ.

Übung 12

Sei n ≥ 1. Zeigen Sie, dass für alle v, w  ∈  ℝⁿ gilt:

4 〈 v, w 〉  =  ∥ v + w ∥² − ∥ v − w ∥².(Polarisation)

Übung 13

Sei n ≥ 1. Zeigen Sie, dass für alle v, w  ∈  ℝⁿ gilt:

∥ v + w ∥²  +  ∥ v − w ∥²  =  2 (∥v∥² + ∥w∥²).(Parallelogrammgleichung)

Erläutern Sie den Namen „Parallelogrammgleichung“ durch ein Diagramm für den Fall n = 2.

Übung 14

Sei n ≥ 1. Wir setzen

d(v, w)  =  ∥ v − w ∥  für alle v, w  ∈  ℝⁿ.

Die reelle Zahl d(v, w) heißt der Euklidische Abstand der Vektoren v und w. Zeigen Sie, dass für alle v, w, u  ∈  ℝⁿ gilt:

Übung 15

Sei n ≥ 1. Zeigen Sie, dass für alle v, w  ∈  ℝⁿ äquivalent sind:

Übung 16

Seien v, w  ∈  ℝ². Veranschaulichen Sie die Vektoren

v − λ w   für λ  ∈  ℝ

durch ein Diagramm. Motivieren Sie die Wahl von λ = 〈 v, w 〉 für normierte Vektoren v, w im zweiten Beweis der Ungleichung von Cauchy-Schwarz. Verwenden Sie hierzu, dass zwei Vektoren der Ebene aufeinander senkrecht stehen, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Wie muss λ gewählt werden, wenn v, w nicht notwendig normiert sind?

Übung 17

Sei n ≥ 1. Wir betrachten Vektoren z = (z₁, …, z_n) der Dimension n mit komplexen Komponenten z_n  ∈  ℂ, also Elemente des ℂⁿ. Die Vektoraddition und Skalarmultiplikation (mit Skalaren λ  ∈  ℂ) wird für ℂⁿ wie für ℝⁿ definiert. Für die Norm verwenden wir den komplexen Betrag der Komponenten, d. h. wir setzen

∥ z ∥  =  $\sqrt{{\text{|z}}_1{\mathrm{|}}^2+\text{…}+{\text{|z}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{|}}^2}$  für alle z  ∈  ℂⁿ.

Wir definieren nun für alle z, w  ∈  ℂⁿ:

〈 z, w 〉*  =  z₁ w₁  +  …  +  z_n w_n,

〈 z, w 〉  =  z₁ w₁  +  …  +  z_nw_n.

Untersuchen diese Versionen eines komplexen Skalarprodukts (die beide für reelle Vektoren mit dem Euklidischen Skalarprodukt übereinstimmen). Betrachten Sie hierzu insbesondere die elementaren Eigenschaften und den Zusammenhang zur Norm. Was ändert sich, wenn man die komplexe Konjugation auf die Komponenten von w anstelle von z anwendet?

Übung 18

Sei s : ℝⁿ × ℝⁿ → ℝ eine Funktion mit den Eigenschaften:

s(e_i, w)  =  w_i  für alle 1 ≤ i ≤ n und alle w  ∈  ℝⁿ,

s(λ v + μ u, w)  =  λ s(v, w)  +  μ s(u, w)  für alle v, u  ∈  ℝⁿ, λ, μ  ∈  ℝ,

wobei wieder e₁ = (1, 0, …, 0), …, e_n = (0, … 0, 1).

Zeigen Sie, dass s(v, w) = 〈 v, w 〉 für alle v, w  ∈  ℝⁿ.