Linearkombinationen und Koordinatenvektoren

 In dem von zwei Vektoren v und w der Ebene aufgespannten Parallelogramm

P  =  { λ v + μ w | λ, μ  ∈  [ 0, 1 ] }  ⊆  ℝ2

sind die Skalare auf das Intervall [ 0, 1 ] beschränkt. Lassen wir diese Beschränkung fallen, so erhalten wir folgenden Begriff:

Definition (Spann, Linearkombination)

Seien v, w  ∈  ℝ2. Dann heißt

span(v, w)  =  { λ v  +  μ w | λ, μ  ∈  ℝ }

der Spann von v und w. Für alle λ, μ  ∈  ℝ heißt der Vektor λ v + μ w eine Linearkombination von v und w.

 Die folgende Tabelle gibt einen Überblick der Möglichkeiten.

v, w

span(v, w)

det(v, w)

nicht kollinear

ℝ2

≠ 0

kollinear, v ≠ 0

{ λ v | λ  ∈  ℝ }

0

kollinear, w ≠ 0

{ λ w | λ  ∈  ℝ }

0

kollinear, v = w = 0

{ 0 }

0

 Der linken Spalte entsprechend ist der Spann zweier Vektoren der Ebene also die ganze Ebene, eine Gerade durch den Nullpunkt oder die Menge, die nur den Nullpunkt als Element enthält. In jedem Fall ist der Nullpunkt ein Element des Spanns (da 0 = 0 v + 0 w), sodass der Spann stets von der leeren Menge verschieden ist.

 Von Interesse sind die Skalare λ, μ einer Linearkombination u = λ v + μ w von v und w. Wir definieren hierzu:

Definition (Koordinaten, Koordinatenvektor)

Seien v, w  ∈  ℝ2 nicht kollinear, u  ∈  ℝ2 und λ, μ  ∈  ℝ mit

u  =  λ v + μ w.

Dann heißen λ, μ die Koordinaten von u bzgl. v, w. Wir nennen (λ, μ)  ∈  ℝ2 auch den Koordinatenvektor des Vektors u bzgl. der Basis (v, w).

 Die Koordinaten sind in der Tat eindeutig bestimmt (Übung), sodass es gerechtfertigt ist, von den Koordinaten bzgl. v, w zu reden.

ema12-AbbID4-2-6

Der Vektor u = −2v + 3w hat den Koordinatenvektor (−2, 3) bzgl. der Basis (v, w)

 Koordinatenvektoren lassen sich durch Vergleich mit der für jeden Vektor u der Ebene gültigen Darstellung

u  =  u1 e1  +  u2 e2  mit e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)

illustrieren. Diese Darstellung zeigt, dass u = (u1, u2) der Koordinatenvektor von u bzgl. der Basis (e1, e2) ist. Allgemein gibt ein Koordinatenvektor (λ, μ) die Position von u an, wenn das übliche Basissystem (e1, e2) durch ein beliebiges Basissystem (v, w) ersetzt wird, das aus zwei nicht kollinearen Vektoren besteht:

u  =  λ v  +  μ w.

Bei Koordinaten ist die Reihenfolge der Basisvektoren zu beachten. Sind λ, μ die Koordinaten von u bzgl. v, w, so sind μ, λ die Koordinaten von u bzgl. w, v.

 Koordinatenvektoren sind nur für nicht kollineare Vektoren definiert. Zwei Vektoren v, w  ∈  ℝ2 sind nach obigen Ergebnissen genau dann nicht kollinear, wenn det(v, w) ≠ 0. Dies werden wir im Folgenden häufig verwenden.