Matrizen und ihre Einträge

Definition (2×2-Matrizen)

Eine doppelt indizierte Folge reeller Zahlen der Form (a_1,1, a_1,2, a_2,1, a_2,2) heißt eine reelle 2 × 2-Matrix. Wir notieren eine Matrix A in den Formen

A = $( \begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} )$ = (a_ij)_{1 ≤ i,j ≤ 2} = (a_ij)_i, j.

Die Elemente a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ heißen die Einträge der Matrix A. Weiter heißen a₁₁ und a₂₂ die Diagonaleinträge, (a₁₁, a₂₂) die (Haupt-) Diagonale und a₁₁ + a₂₂ die Spur von A. Ist a₁₂ = a₂₁ = 0, so heißt A eine Diagonalmatrix. Wir setzen

A(i, j) = a_ij für alle 1 ≤ i, j ≤ 2.

Die Vektoren (a₁₁, a₁₂), (a₂₁, a₂₂)  ∈  ℝ² heißen die Zeilenvektoren von A, die Vektoren (a₁₁, a₂₁), (a₁₂, a₂₂)  ∈  ℝ² die Spaltenvektoren von A. Wir setzen

ℝ^2 × 2 = { A | A ist eine reelle 2 × 2-Matrix }.

Bei einer quadratischen Matrix-Darstellung werden zwischen den Einträgen keine Kommata gesetzt. In den Indizes können wir „i, j“ oder kürzer „ij“ schreiben, solange klar ist, dass keine Multiplikation i · j vorliegt.

Formal kann man eine 2 × 2-Matrix als eine Funktion von

{ 1, 2 } × { 1, 2 } = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) }

nach ℝ auffassen, die als Folge oder Familie

(a_(1,1), a_(1,2), a_(2,1), a_(2,2)) = (a_1,1, a_1,2, a_2,1, a_2,2)

notiert wird: a_i, j ist der Funktionswert an der Stelle (i, j). Im Umgang mit Matrizen tritt dieser formale Aspekt in den Hintergrund. Wichtig sind die quadratische Darstellung und die Eigenschaften der Operationen mit Matrizen.

In der indizierten Form

A = $( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} )$

ist der erste Index immer ein Zeilenindex und der zweite Index immer ein Spaltenindex. Der Eintrag A(i, j) = a_ij der Matrix A steht in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte von A. Da 2 × 2-Matrizen nur vier Einträge besitzen, geben wir sie oft an in der Form

A = $( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} )$ .

Es gilt dann automatisch A(1, 1) = a₁₁ = a, …, A(2, 2) = a₂₂ = d. Der Leser vergleiche dies mit der Vektornotation v = (x, y) = (v₁, v₂)  ∈  ℝ².

Konvention: Strichpunkt und Komma

Jedes Paar von Vektoren der Ebene lässt sich als 2 × 2-Matrix auffassen. Um Zeilen und Spalten zu unterscheiden, verwenden wir ein Komma bzw. einen Strichpunkt: Sind v, w  ∈  ℝ², so ist A = (v, w) die 2 × 2-Matrix mit den Zeilenvektoren v und w und B = (v; w) die 2 × 2-Matrix mit den Spaltenvektoren v und w.

Der Unterschied zwischen den Matrizen A = (v, w) und B = (v; w) lässt sich durch folgende Operation beschreiben:

Definition (Transposition, symmetrisch)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann ist die zu A transponierte Matrix A^t definiert durch

A^t(i, j) = A(j, i) für alle 1 ≤ i, j ≤ 2.

Gilt A = A^t, so heißt A symmetrisch.

Die zu A transponierte Matrix entsteht durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen. Wegen A^t(1, 1) = A(1, 1) und A^t(2, 2) = A(2, 2) hat A^t die gleiche Diagonale wie A. Die beiden anderen Einträge sind vertauscht:

A^t(1, 2) = A(2, 1), A^t(2, 1) = A(1, 2).

Ist A = (v, w), so ist A^t = (v; w). Ist umgekehrt A = (v; w), so ist A^t = (v, w). Für alle A gilt (A^t)^t = A. Die Symmetrie einer Matrix A ist durch A(1, 2) = A(2, 1) charakterisiert; die Diagonaleinträge sind beliebig.

Beispiele

((1, 2), (3, 4)) = ((1, 3); (2, 4)) = $( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} )$ ,

$( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ , $( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} )$ sind Diagonalmatrizen,

$( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )$ , $( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix} )$ sind keine Diagonalmatrizen,

$( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} )$ , $( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} )$ sind symmetrisch,

$( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix} )$ , $( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} )$ sind nicht symmetrisch.

Zwei wichtige spezielle Matrizen sind:

Definition (Nullmatrix, Einheitsmatrix)

Die Nullmatrix 0  ∈  ℝ^2 × 2 und die Einheitsmatrix E₂  ∈  ℝ^2 × 2 sind definiert durch

0 = ((0, 0); (0, 0)) = $( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ , E₂ = ((1, 0); (0, 1)) = $( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ .

Beide Matrizen sind symmetrisch, sodass wir die Strichpunkte in der Definition auch durch Kommata ersetzen könnten. Die Einträge der Nullmatrix sind alle gleich 0. Bei der Einheitsmatrix sind die Diagonaleinträge gleich 1, die anderen Einträge gleich 0. Die Zeilen und Spalten von E₂ bestehen aus den kanonischen Einheitsvektoren e₁ = (1, 0) und e₂ = (0, 1) der Ebene. Wir werden gleich sehen, dass die Nullmatrix die additive Rolle der Null und die Einheitsmatrix die multiplikative Rolle der Eins übernimmt.

Wir führen noch eine Notation ein, die nicht nur im Umgang mit Matrizen nützlich ist:

Notation: Kronecker-Delta

Für zwei Indizes i, j ist das Kronecker-Delta δ_ij definiert durch

$δ_{ij} = { \begin{matrix} 1 & falls i = j \\ 0 & falls i \neq j \end{matrix}$

Die bei einem Kronecker-Delta verwendeten Indizes i, j sind dabei beliebige mathematische Objekte. Für reelle Zahlen x, y ist zum Beispiel δ_xx = 1 und δ_xy = 0, falls x ≠ y. Die durch δ_x0 definierte Funktion f : ℝ → ℝ ist genau an der Stelle 0 gleich 1 und für alle reellen Zahlen x ≠ 0 gleich 0.

Die Einheitsmatrix E₂  ∈  ℝ^2 × 2 lässt sich mit Hilfe des Kronecker-Deltas nun definieren durch

E₂(i, j) = δ_ij für alle 1 ≤ i, j ≤ 2.

Schließlich führen wir noch eine Notation für Diagonalmatrizen ein:

Notation

Für alle d₁, d₂  ∈  ℝ setzen wir

diag(d₁, d₂) = $( \begin{matrix} d_{1} & 0 \\ 0 & d_{2} \end{matrix} )$ .

Damit gilt 0 = diag(0, 0) und E₂ = diag(1, 1).