Matrizen und Ellipsen, II

Mit Hilfe der Diagonalisierung können wir die Eigenvektoren und Eigenwerte einer invertierbaren symmetrischen Matrix geometrisch als Richtungen und Längen der Halbachsen der von A erzeugten Ellipse interpretieren und damit zwei Welten zusammenbringen. Im Folgenden seien

E_A = A [ K ] = { Av | ∥v∥ = 1 }

das Bild des Einheitskreises K unter einer Matrix A und

E_{a, b} = { (x, y)  ∈  ℝ² | (x/a)² + (y/b)² = 1 }

die achsenparallele Ellipse mit Halbachsen a, b > 0. Wir erhalten:

Satz (Ellipsensatz für symmetrische Matrizen aus Spektralsatz)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2 invertierbar und symmetrisch, und sei A = S⁻¹ D S mit S orthogonal und D = diag(λ₁, λ₂). Dann gilt

E_A = S⁻¹ [ E_{|λ₁|, |λ₂|} ].

Damit sind die Eigenwerte von A die Längen der Halbachsen von E_A und zugehörige Eigenvektoren sind Halbachsenrichtungen von E_A.

Wenn wir die Matrix S als Drehung annehmen und A = S⁻¹ D S als Abfolge der Drehung S, x-y-Skalierung D und Rückdrehung S⁻¹ um den gleichen Drehwinkel auffassen, wird das Ergebnis sehr anschaulich: Durch S = (v, w) werden die orthogonalen und normierten Eigenvektoren v und w von A auf e₁ und e₂ abgebildet. Der Kreis K bleibt invariant. Anwendung von D verformt K zur achsenparallelen Ellipse E_{|λ₁|, |λ₂|}. Die Anwendung von S⁻¹ dreht diese Ellipse zur Ellipse E_A; die Halbachsenlängen |λ₁| und |λ₂| bleiben dabei gleich, die Achsenrichtungen e₁ und e₂ werden zu den Eigenvektoren v = S⁻¹e₁ und w = S⁻¹e₂ von A. Die Vektoren v und w sind damit Halbachsenrichtungen von E_A. Analoges gilt, wenn S eine Spiegelung ist.

Beispiel

Für die oben untersuchte symmetrische Matrix

A = $( \begin{matrix} a & b \\ b & d \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )$ .

mit Eigenwerten λ_1,2 = 2 ± $\sqrt{2}$ und normierten Eigenvektoren

v = α (1 + $\sqrt{2}$ , 1), w = α (1 − $\sqrt{2}$ , 1), α⁻¹ = $\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$ .

ergibt sich folgendes Bild:

Visualisierung der Eigenwerte und Eigenvektoren der symmetrischen Matrix A

Formal lässt sich der Satz wie folgt beweisen:

Beweis des Satzes

Für alle v  ∈  ℝ² gilt die Äquivalenzenkette:

v  ∈  E_A	genau dann, wenn	∥ A⁻¹v ∥² = 1
	genau dann, wenn	〈 A⁻¹v, A⁻¹v 〉 = 1
	genau dann, wenn	〈 S⁻¹ D⁻¹ S v, S⁻¹ D⁻¹ S v 〉 = 1
	genau dann, wenn	〈 D⁻¹ S v, D⁻¹S v 〉 = 1.

Mit D⁻¹ = diag(1/λ₁, 1/λ₂) ist

E_A	= { v \| 〈 D⁻¹ S v, D⁻¹S v 〉 = 1 }
	= { S⁻¹w \| 〈 D⁻¹w, D⁻¹w 〉 = 1 }
	= { S⁻¹(x, y) \| (x/λ₁)² + (y/λ₂)² = 1 } = S⁻¹ [ E_{\|λ₁\|, \|λ₂\|} ].

Um den Ellipsensatz auch für nichtsymmetrische Matrizen A zu erhalten, verwenden wir, dass für jede Matrix A die Matrix AA^t symmetrisch ist, sodass wir den Spektralsatz auf AA^t anwenden können:

Satz (allgemeiner Ellipsensatz aus Spektralsatz)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2 invertierbar, und sei A A^t = S⁻¹DS mit S orthogonal und D = diag(λ₁, λ₂). Dann gilt λ₁, λ₂ > 0 und

E_A = S⁻¹[ E_{σ₁, σ₂} ], wobei σ₁ = $\sqrt{λ_{1}}$ , σ₂ = $\sqrt{λ_{2}}$ .

Die Eigenvektoren der symmetrischen Matrix AA^t sind also Halbachsenrichtungen der Ellipse E_A und die Wurzeln der zugehörigen Eigenwerte sind die Längen der Halbachsen.

Beweis

Da mit A auch A^t invertierbar ist, gilt

〈 v, A A^t v 〉 = 〈 A^tv, A^tv 〉 = ∥ A^t v ∥² > 0 für alle v ≠ 0.

Dies zeigt, dass die Eigenwerte λ₁, λ₂ der symmetrischen Matrix A A^t positiv sind. Der Rest des Beweises verläuft analog zum obigen Beweis (Ausführung des Arguments als Übung).

Wir bemerken schließlich, dass wir den spezielleren Satz für eine symmetrische Matrix A aus dem allgemeinen Satz gewinnen können, indem wir

AA^t = A A = A²

diagonalisieren. Denn die Matrix A² hat die gleichen Eigenvektoren wie A und die Eigenwerte von A² sind die Quadrate der Eigenwerte von A.

E_A	= { v \| 〈 D⁻¹ S v, D⁻¹S v 〉 = 1 }
	= { S⁻¹w \| 〈 D⁻¹w, D⁻¹w 〉 = 1 }
	= { S⁻¹(x, y) \| (x/λ₁)² + (y/λ₂)² = 1 } = S⁻¹ [ E_{\|λ₁\|, \|λ₂\|} ].