Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum
Geraden und Ebenen des Raumes, denen der Nullpunkt angehört, können wir über den Spann von Vektoren einführen:
Definition (Gerade)
Sei v ∈ ℝ3 mit v ≠ 0. Dann setzen wir
G(v) = span(v) = { λ v | λ ∈ ℝ }.
Die Menge G(v) ⊆ ℝ3 heißt die von v aufgespannte oder erzeugte Gerade des ℝ3. Eine Teilmenge G ⊆ ℝ3 heißt eine Gerade (durch 0), falls es ein v ∈ ℝ3 gibt mit G = G(v).
Definition (Ebene)
Seien v, w ∈ ℝ3 nicht kollinear. Dann setzen wir
E(v, w) = span(v, w) = { λ v + μ w | λ, μ ∈ ℝ }.
Die Menge E(v, w) ⊆ ℝ3 heißt die von v, w aufgespannte oder erzeugte Ebene des ℝ3. Eine Teilmenge E ⊆ ℝ3 heißt eine Ebene (durch 0), falls es v, w ∈ ℝ3 gibt mit E = E(v, w).
Allgemeinere geometrische Geraden und Ebenen entstehen durch die Verschiebung von Geraden und Ebenen durch den Nullpunkt um einen Vektor:
Definition (Translation)
Seien P ⊆ ℝ3 und u ∈ ℝ3. Dann setzen wir
P + u = { v + u | v ∈ P }.
Die Menge P + u heißt die Translation oder Verschiebung von P um den Vektor u.
Definition (affine Gerade, affine Ebene)
Eine Menge G ⊆ ℝ3 heißt eine affine Gerade, falls es v, u ∈ ℝ3 gibt mit G = u + G(v). Analog heißt eine Menge E ⊆ ℝ3 eine affine Ebene, falls es v, w, u ∈ ℝ3 gibt mit E = u + E(v, w).
Affine Gerade und Ebenen haben also die Form
G = u + span(v) = { u + λv | λ ∈ ℝ }, v ≠ 0,
E = u + span(v, w) = { u + λv + μ w | λ, μ ∈ ℝ }, v, w nicht kollinear.
Die Vektoren v, w, u sind dabei nicht eindeutig bestimmt und der Fall u = 0 ist möglich. Im Folgenden bedeutet „Gerade“ und „Ebene“ immer „Gerade durch 0“ und “Ebene durch 0“, wenn der Zusatz „affin“ nicht explizit dabei steht.