Linearkombinationen und Koordinatenvektoren
Erneut in Analogie zur Ebene definieren wir:
Definition (Spann, Linearkombination)
Seien v, w, u ∈ ℝ3. Dann heißt
span(v, w, u) = { λ1 v + λ2 w + λ3 u | λ1, λ2, λ3 ∈ ℝ }
der Spann von v, w, u. Für alle λ1, λ2, λ3 ∈ ℝ heißt λ1 v + λ2 w + λ3 w eine Linearkombination von v, w, u.
Der Spann dreier Vektoren kann { 0 }, eine Gerade, eine Ebene oder der ganze Raum ℝ3 sein. In jedem Fall enthält der Spann den Nullvektor als Element.
Definition (Koordinaten, Koordinatenvektor bzgl. einer Basis)
Seien v, w, u ∈ ℝ3 linear unabhängig, s ∈ ℝ3 und λ1, λ2, λ3 ∈ ℝ mit
s = λ1 v + λ2 w + λ3 u.
Dann heißt (λ1, λ2, λ3) der Koordinatenvektor von s bzgl. der Basis (v, w, u).
Die Eindeutigkeit des Koordinatenvektors ergibt sich elegant aus der eindeutigen Nulldarstellung bei linearer Unabhängigkeit: Gilt
s = λ1 v + λ2 w + λ3 u = μ1 v + μ2 w + μ3 u,
so ist
0 = (λ1 − μ1) v + (λ2 − μ2) w + (λ3 − μ3) u.
Da die Vektoren v, w, u linear unabhängig sind, gilt λi − μi = 0 und also λi = μi für alle i = 1, 2, 3.