Invertierbarkeit

Wie für 2 × 2-Matrizen definieren wir:

Definition (invertierbar, invers, singulär)

Sei A  ∈  ℝ^3 × 3. Gibt es ein B  ∈  ℝ^3 × 3 mit AB = E₃ = BA, so heißt A invertierbar und B invers zu A. Andernfalls heißt A singulär.

Eine inverse Matrix ist im Fall der Existenz erneut eindeutig bestimmt, sodass wir das Inverse einer invertierbaren Matrix A mit A⁻¹ bezeichnen können. Für alle invertierbaren Matrizen A, B  ∈  ℝ^3 × 3 gelten die Invertierungsregeln

(A⁻¹)⁻¹ = A, (A B)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹.

Die für 2 × 2-Matrizen geführten Beweise können übernommen werden.

Beispiel

Hat A eine Nullzeile, so ist A singulär. Denn aus „Zeile mal Spalte“ folgt, dass für jede Matrix B auch A B eine Nullzeile besitzt, sodass AB ≠ E₃. Analog ist A singulär, wenn A eine Nullspalte besitzt.

Ein Gleichungssystem

(+)	a₁ x + b₁ y + c₁ z = u₁
	a₂ x + b₂ y + c₂ z = u₂
	a₃ x + b₃ y + c₃ z = u₃

können wir wieder kompakt in der Form

A (x, y, z) = u

notieren, mit der Koeffizientenmatrix A = (a; b; c)  ∈  ℝ^3 × 3 des Systems. Wie früher gilt:

Lösung durch Invertierung

Ist A invertierbar, so wird für alle rechten Seiten u  ∈  ℝ³ das Gleichungssystem A (x, y, z) = u eindeutig durch den Vektor A⁻¹u gelöst.

Die eindeutige Lösbarkeit von Av = u ist erneut äquivalent zu det(A) ≠ 0. Damit ist A genau dann invertierbar, wenn det(A) ≠ 0.

Im Fall n = 2 konnten wir das Inverse einer Matrix mit Hilfe der Komplementärmatrix relativ leicht direkt angeben. Für 3 × 3-Matrizen ist eine explizite Formel für das Inverse komplizierter. Anstelle einer solchen Formel betrachten wir einen Invertierungsalgorithmus, der sich leicht auf beliebige (n × n)-Matrizen verallgemeinern lässt.