Übungen

Übung 1

Berechnen Sie das Volumen eines Kegels der Höhe h und Grundfläche F = r²π mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips.

Übung 2

Begründen Sie die Additivität I(f + g) = I(f) + I(g) des Riemann-Integrals mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips.

Übung 3

Seien a, b, c > 0, und sei

E  =  { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | ${\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)}^2$  +  ${\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}\right)}^2$  +  ${\left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{c}}\right)}^2$  ≤  1 }

das achsenparallele Ellipsoid mit den Halbachsen a, b, c. Berechnen Sie das Volumen von E mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips.

Übung 4

Einen Torus T mit Radien R ≥ r ≥ 0 erhalten wir, indem wir einen Kreis der x-z-Ebene mit Radius r und Mittelpunkt (R, 0, 0) um die z-Achse rotieren. Jeder Drehwinkel φ  ∈  [ 0, 2π ] erzeugt dabei einen Kreis mit der Fläche r²π. Integrieren wir alle diese Flächen auf, so erhalten wir 2πr²π = 4π²r². Begründen Sie, warum diese Argumentation nicht das Torusvolumen liefert.

Übung 5

Sei f : [ a, b ] → ℝ³ eine Rotationskurve. Erklären Sie die Definition

ρ(f)  =  { (x, y, f₃(t))  ∈  ℝ³ | t  ∈  [ a, b ],  x² + y² = f₁(t)² }.

der durch f erzeugten Rotationsfläche mit Hilfe einer Skizze.

Übung 6

Begründen Sie die Formel für die Mantelfläche eines Kegelstumpfes elementargeometrisch.

Übung 7

Berechnen Sie die Oberfläche eines Kegels der Höhe h und Grundfläche F = r² π mit Hilfe der Oberflächenformel für Rotationsflächen.