Schulwissen vom höheren Standpunkt

Aufgabe 1

(1)

Beweisen Sie die Additionstheoreme des Kosinus und Sinus mit Hilfe des Additionstheorems der komplexen Exponentialfunktion und der Eulerschen Formel.

(2)

Leiten Sie Potenzreihendarstellung der reellen Sinusfunktion aus der komplexen Exponentialreihe und der Eulerschen Formel her.

Aufgabe 2

Sei D das durch die komplexen dritten Einheitswurzeln z0, z1, z2 definierte Dreieck (mit z0 = 1).

(a)

Skizzieren Sie D und geben Sie in Ihrer Skizze die Ecken z0, z1, z2 von D mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion an.

(b)

Zeigen Sie mit Hilfe komplexer Argumentation, dass D gleichseitig ist.

(c)

Bestimmen Sie z1 + z2.

(d)

Zeigen Sie mit Hilfe von (a) − (c), dass cos(2π/3) = − 1/2.

Aufgabe 3

(a)

Beweisen Sie die Ableitungsregeln der reellen Kosinus- und Sinusfunktion mit Hilfe der Eulerschen Formel und der Ableitungsregel d/dx exp(ix) = i exp(ix). Begründen Sie die wichtigsten Argumentationsschritte explizit.

(b)

Zeigen Sie mit Hilfe der Reihendarstellung des Sinus:

limx→0 sin(x)/x  =  1.

(c)

Begründen Sie den Grenzwert in (b) geometrisch mit Hilfe eines beschrifteten Diagramms (anschaulich, ohne vollständigen Beweis).

(d)

Wo spielt der Grenzwert in (b) eine wichtige Rolle?

Aufgabe 4

Betrachten Sie folgende Aussage:

„Eine Parabel lässt sich eindeutig als Produkt zweier Geraden schreiben.“

Diskutieren Sie diese Aussage umfassend und mit Begründungen im Hinblick auf die Zahlbereiche ℝ und ℂ.

Aufgabe 5

Sei E die achsenparallele Ellipse mit Mittelpunkt 0, großer Halbachse 1 und kleiner Halbachse 1/2.

(1)

Definieren Sie E als Teilmenge der Ebene mit Hilfe einer algebraischen Gleichung. Visualisieren Sie die Definition durch eine Skizze.

(2)

Definieren Sie E als Teilmenge der Ebene mit Hilfe von Brennpunkten. Visualisieren Sie die Definition durch eine Skizze.

(3)

Parametrisieren Sie E in der Zeit t. Erstellen Sie eine weitere Skizze, die die geometrische Bedeutung des Parameters t veranschaulicht und fassen Sie diese Bedeutung in einem Satz zusammen.

Aufgabe 6

(1)

Geben Sie einen geometrischen Beweis des Thalessatzes, der nur elementare Eigenschaften von Winkeln in Dreiecken verwendet.

(2)

Beweisen Sie den Thalessatz mit Hilfe von Vektoren der reellen Ebene und einem Orthogonalitätsargument. Erstellen Sie ein Diagramm zur Illustration Ihrer Argumentation.