Übungen
Übung 1
Beweisen Sie die Eigenschaften (T1) − (T7) der Teilbarkeitsrelation.
Übung 2
Erstellen Sie eine Tabelle mit Linearkombinationen der Zahlen 12 und 30. Formulieren Sie eine Hypothese, welche Zahlen als Linearkombinationen auftreten und welche nicht. Versuchen Sie, Ihre Hypothese zu beweisen.
Übung 3
Betrachten Sie die Tabelle der positiven Divisoren der ersten Zahlen. Welche Eigenschaften fallen Ihnen auf? Formulieren Sie Hypothesen und versuchen Sie, Ihre Hypothesen zu begründen oder zu beweisen.
Übung 4
Sei m ≥ 1. Beweisen Sie, dass die Kongruenzrelation ≡ m reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Übung 5
Sei a ≥ 1. Zeigen Sie, dass an ≡ 1 mod(a − 1) für alle n ≥ 0.
Übung 6
Beweisen Sie die Eigenschaften (K1) − (K5) der Kongruenz.
Übung 7
Visualisieren Sie die Division mit Rest an der Zahlengeraden ℤ.
Übung 8
(a) | Visualisieren Sie die Kongruenzrelation ≡ m an der Zahlengeraden ℤ. |
(b) | Visualisieren Sie die Kongruenzrelation ≡ m mit Hilfe von Zählsteinen. |
Wie ändern sich die Visualisierungen, wenn Sie m verändern? Erläutern Sie einige Eigenschaften der Kongruenz anhand Ihrer Diagramme.
Übung 9
Die Eigenschaften (K1) und (K3) haben wir so interpretiert:
„Wir können in aus + und · aufgebauten Termen kongruent ersetzen.“
(a) | Wie verhalten sich die Eigenschaften (K2) und (K4) zu dieser Regel? |
(b) | Kann auch im Exponenten kongruent ersetzt werden? Formulieren Sie eine entsprechende Aussage und beweisen oder widerlegen Sie sie. |
Übung 10
Erstellen Sie per Hand für die Moduln m = 6 und m = 7 je eine Additions- und eine Multiplikationstafel für die Kongruenz modulo m, d. h. Tabellen, die für alle 0 ≤ a, b < m die Zahlen 0 ≤ c < m mit
a + b ≡ c (m) bzw. ab ≡ c (m)
enthält. Welche Eigenschaften der Tabellen sind bemerkenswert? Formulieren Sie Hypothesen und versuchen Sie, diese zu begründen oder zu beweisen. Überprüfen bzw. illustrieren Sie Ihre Hypothesen auch anhand von weiteren (evtl. mit Hilfe von Computern erzeugten) Tabellen.
Übung 11
Bestimmen Sie in Form einer Tabelle für m = 13 und m = 15 alle Paare a, b mit 0 ≤ a, b < m und
a b ≡ 1 (m).
Welche Eigenschaften fallen Ihnen auf? Versuchen Sie, Ihre Vermutungen zu beweisen.
Übung 12
Seien m1, m2 ≥ 1 und sei m das kleinste gemeinsame Vielfache von m1 und m2. Zeigen Sie, dass für alle a, b die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(1) | a ≡ b (m1) und a ≡ b (m2). |
(2) | a ≡ b (m). |
Übung 13
Sei g ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Zeigen Sie, dass für alle a, b und m ≥ 1 gilt:
a ≡ b mod(m) impliziert g(a) ≡ g(b) mod(m).
Gilt auch die Umkehrung der Implikation? Begründen Sie Ihre Antwort.
Übung 14
Zeigen Sie:
(a) | Jede Quadratzahl hat in Dezimaldarstellung eine der Zahlen 0, 1, 4, 5, 6, 9 als Einerziffer. |
(b) | Jede vierte Potenz hat in Dezimaldarstellung eine der Zahlen 0, 1, 5, 6 als Einerziffer. |
Übung 15
Zeigen Sie, dass das Produkt dreier aufeinanderfolgender Zahlen durch 6 teilbar ist, d. h., für alle ganzen Zahlen n gilt
6 | n (n + 1) (n + 2).
Übung 16
Sei b ≥ 2. Zeigen Sie, dass eine natürliche Zahl n = z1 … zk mit Ziffern zi in b-adischer Darstellung genau dann durch b − 1 teilbar ist, wenn ihre Quersumme z1 + … + zk durch b − 1 teilbar ist. Für welche weiteren Teiler gilt diese Quersummenregel noch?
Übung 17
Sei b ≥ 2. Formulieren Sie ein Analogon der dezimalen Teilbarkeitsregel für die 5 für die b-adische Darstellung.
Übung 18
Zeigen Sie, dass für alle n gilt
(i) | 2 | (n2 − n), |
(ii) | 6 | (n3 − n), |
(iii) | 30 | (n5 − n). |