Fragen über Primzahlen

 Über Primzahlen lassen sich zahlreiche sehr schwierige Fragen stellen. Einige davon sind:

 Die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge ist ein offenes Problem. Man weiß

∑_{p ist Komponente eines Primzahlzwillings} 1/p  <  ∞,  während  ∑_{p ist Primzahl} 1/p  =  ∞.

Die Primzahlzwillinge sind also sehr dünn gesät. Aber aus der Endlichkeit der Summe folgt noch nicht, dass es nur endlich viele Summanden gibt (der Leser vergleiche die Summe über 1/2ⁿ). Umgekehrt ergibt sich aus der Unendlichkeit der zweiten Summe, dass es unendlich viele Summanden gibt. In dieser Weise hat Euler einen Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen geführt.

Die ersten Primzahlzwillinge (erste Komponenten, bis 10000)

 Die folgende Tabelle listet die ersten Primzahlzwillinge auf. Dabei geben wir der Kürze halber nur die erste Komponente p und nicht das Paar (p, p + 2) an.

 Die Frage nach den Primzahlzwillingen lässt sich vielfach variieren. Ein Primzahldrilling der Form (p, p + 2, p + 4) ist bis auf den Einzelfall (3, 5, 7) unmöglich, da eine der drei Zahlen durch 3 teilbar ist (Übung); der Leser vergleiche einen Zwilling der Form (p, p + 1), der nur im Fall p = 2 aus Primzahlen bestehen kann. Möglich sind dagegen Drillinge (p, p + 2, p + 6) wie (5, 7, 11) und (11, 13, 17) oder Drillinge (p, p + 4, p + 6) wie etwa (7, 11, 13) und (13, 17, 19). Allgemein stellt sich die Frage nach unendlich oft auftretenden Mustern in der Folge der Abstände der Primzahlen. Die folgende Tabelle gibt einen Eindruck dieser Folge.

Die Abstände der ersten Primzahlen (bis 5000)

 Ein Primzahlzwilling entspricht einem Abstand 2, die Primzahldrillinge der beiden Typen (p, p + 2, p + 6) bzw. (p, p + 4, p + 6) entsprechen den Abstandspaaren 2, 4 bzw. 4, 2. Die Frage nach der Unendlichkeit der Primzahlzwillinge ist also gleichwertig dazu, dass in der Abstandsfolge unendlich oft die Zahl 2 erscheint. Analog gibt es genau dann unendliche viele Primzahldrillinge, wenn die Paare 2, 4 bzw. 4, 2 unendlich oft in der Abstandsfolge auftreten.

Die Goldbachsche Vermutung

 Die zweite der obigen Fragen, ob jede gerade Zahl n ≥ 4 die Summe zweier Primzahlen sei, ist die Goldbachsche Vermutung aus dem Jahr 1742. Sie wurde für sehr viele gerade Zahlen bestätigt. In diesem empirischen Sinn ist sie „vermutlich richtig“, ein Beweis steht aber noch aus. Eine Widerlegung der Vermutung durch ein sehr großes Gegenbeispiel (größer als 10¹⁸) ist damit nicht auszuschließen.

 Die folgende Tabelle listet alle Möglichkeiten auf, die geraden Zahlen von 4 bis 40 als der Größe nach geordnete Summe zweier Primzahlen darzustellen.

4  =  2  +  2

6  =  3  +  3

8  =  3  +  5

10  =  3  +  7  =  5  +  5

12  =  5  +  7

14  =  3  +  11  =  7  +  7

16  =  3  +  13  =  5  +  11

18  =  5  +  13  =  7  +  11

20  =  3  +  17  =  7  +  13

22  =  3  +  19  =  5  +  17  =  11  +  11

24  =  5  +  19  =  7  +  17  =  11  +  13

26  =  3  +  23  =  7  +  19  =  13  +  13

28  =  5  +  23  =  11  +  17

30  =  7  +  23  =  11  +  19  =  13  +  17

32  =  3  +  29  =  13  +  19

34  =  3  +  31  =  5  +  29  =  11  +  23  =  17  +  17

36  =  5  +  31  =  7  +  29  =  13  +  23  =  17  +  19

38  =  7  +  31  =  19  +  19

40  =  3  +  37  =  11  +  29  =  17  +  23

Der Primzahlsatz

 Das vielleicht wichtigste Ergebnis über die Verteilung der Primzahlen ist der Primzahlsatz (vermutet von Gauß und Legendre Ende des 18. Jahrhunderts, bewiesen von Jacques Hadamard und Charles de la Vallée-Poussin im Jahr 1896). Bezeichnet π(n) die Anzahl aller Primzahlen kleinergleich n, so gilt

lim_n → ∞ ^π(n)_n/log(n)  =  1(Primzahlsatz)

Wir sagen auch, dass die Größen π(n) und n/log(n) asymptotisch gleich sind und schreiben

π(n)  ∼  ⁿ_log n.

Anschaulich bedeutet dies, dass π(n) ungefähr gleich n/log(n) ist. Es gibt viele Interpretationen von „ungefähr gleich“, die Konvergenz des Quotienten der beiden betrachten Größen gegen 1 ist eine Variante, die in der Zahlentheorie häufig verwendet wird.

 Der Primzahlsatz ist nicht nur ein bestechendes Ergebnis, sondern auch ein Beispiel dafür, dass weitergehende Hilfsmittel eingesetzt werden, um Erkenntnisse über Primzahlen zu erzielen. Hier sind vor allem die komplexe Analysis und die Algebra zu nennen, deren zahlentheoretische Kraft die Disziplinen analytische Zahlentheorie und algebraische Zahlentheorie hervorbrachten. Das Phänomen, über die natürlichen Zahlen hinauszugehen, um sie zu ergründen, macht einen Teil der Magie der modernen Zahlentheorie aus. Der Anreiz, möglichst elementare Beweise zu finden, bleibt dadurch unberührt.

 Die folgenden Diagramme illustrieren das Verhältnis zwischen den Funktionen π(n) und log(n). Dabei ist es manchmal hilfreich, auf einer oder beiden Achsen eine logarithmische Skalierung zu verwenden.

 In der Tat gilt lim_{n → ∞}(log(n) − n/π(n)) = 1. Diese bemerkenswerte Verstärkung des Primzahlsatzes lässt sich aus dem Beweis von Vallée-Poussin gewinnen.

Das Bertrandsche Postulat

 Ein andersartiges Ergebnis über die Verteilung der Primzahlen ist das Bertrandsche Postulat. Es besagt:

Für alle n ≥ 1 liegt zwischen n und 2n mindestens eine Primzahl.

(Bertrandsches Postulat)

Diese Dichteeigenschaft der Primzahlen wurde 1845 von dem französischen Mathematiker Joseph Bertrand vermutet und 1850 von Pafnuty Chebyshev mit analytischen Hilfsmitteln bewiesen. Ein elementarer (aber keineswegs trivialer) Beweis, bei dem Eigenschaften von Binomialkoeffizienten im Zentrum stehen, wurde von Paul Erdös 1932 veröffentlicht. Bis heute offen ist dagegen die verwandte Frage:

Für alle n ≥ 1 liegt zwischen n² und (n + 1)² mindestens eine Primzahl.

(Legendre Vermutung)

Primzahlen: Eine unerschöpfliche Schatztruhe der Mathematik.