Multiplikative zahlentheoretische Funktionen

 Eine Funktion der Form f : ℕ* → ℕ* oder allgemeiner f : ℕ → ℂ heißt eine zahlentheoretische Funktion. Wir definieren:

Eine multiplikative Funktion f ist durch ihre Werte auf den Primzahlpotenzen p^e eindeutig bestimmt, da

f (p₁^e₁ … p_k^e_k)  =  f (p₁^e₁) … f (p_k^e_k)

für alle paarweise verschiedenen Primzahlen p₁, …, p_k und alle Exponenten e₁, …, e_k ≥ 1. Weiter gilt f (1) = 1 (Übung).

 Viele wichtige zahlentheoretische Funktionen sind multiplikativ. Prominente Beispiele neben der φ-Funktion sind die Teilerzahlfunktion τ : ℕ* → ℕ* und die Teilersummenfunktion σ : ℕ* → ℕ*, die für alle n ≥ 1 definiert sind durch

τ(n)  =  |{ d | 1 ≤ d ≤ n, d|n }|,

σ(n)  =  ∑_d|n d,  wobei hier und im Folgenden d ≥ 1 in derartigen Summen.

Die Multiplikativität dieser Funktionen kann mit folgendem allgemeinen Satz bewiesen werden, dessen Beweis wir in den Übungen diskutieren:

Damit sind τ und σ multiplikativ. Denn es gilt

τ(n)  =  ∑_d | n 1,  σ(n)  =  ∑_d | n d,

und die konstante 1-Funktion und die Identität sind multiplikativ.

 Wie für die φ-Funktion gibt es auch für τ und σ Berechnungsformeln. Für alle n ≥ 1 gilt (Übung):

τ(n)  =  ∏_{p prim, p|n} (ex_p(n) + 1),  σ(n)  =  ∏_{p prim, p|n} $\frac{{\mathrm{p}}^{{\text{ex}}_{\mathrm{p}}(\mathrm{n})+1}-1}{\mathrm{p}-1}$.

Die folgenden Abbildungen zeigen den Verlauf der beiden Funktionen.

 Teilersummen wurden bereits in der griechischen Mathematik untersucht. Euklid nannte eine Zahl n ≥ 2 perfekt oder vollkommen, falls σ(n) = 2n, d. h. falls n die Summe aller seiner positiven Teiler außer sich selbst ist. So sind zum Beispiel

6  =  1 + 2 + 3,  28  =  1 + 2 + 4 + 7 + 14,  496  =  1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124

perfekt. Viele Fragen über perfekte Zahlen sind offen: Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele perfekte Zahlen gibt. Und es ist nicht bekannt, ob eine ungerade perfekte Zahl existiert.