Teilmengen
Mit Hilfe der Elementbeziehung können wir eine sehr bedeutsame Beziehung zwischen beliebigen Mengen A und B definieren: Die Inklusion. Die vier Varianten sind:
Relation | Definition | Bezeichnung | Lesart |
A ⊆ B | ∀a (a ∈ A → a ∈ B) | Teilmengenrelation, Inklusion | A Teilmenge B |
A ⊇ B | ∀a (a ∈ B → a ∈ A) | Obermengenrelation, umgekehrte Inklusion | A Obermenge B |
A ⊂ B | A ⊆ B ∧ A ≠ B | echte Inklusion | A echte Teilmenge B |
A ⊃ B | A ⊇ B ∧ A ≠ B | echte umgekehrte Inklusion | A echte Obermenge B |
Nach dem Extensionalitätsprinzip gilt für alle Mengen A, B:
A = B genau dann, wenn A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
Dies erleichtert oft den Nachweis, dass zwei Mengen übereinstimmen, da der Beweis in zwei Teile aufgespalten werden kann. Zuerst zeigen wir A ⊆ B und danach B ⊆ A.
Eigenschaften der Inklusion |
A ⊂ B → A ⊆ B |
A ⊆ A, A ⊆ B ∧ B ⊆ A ↔ A = B, A ⊆ B ∧ B ⊆ C → A ⊆ C |
¬(A ⊂ A) , A ⊂ B ∧ B ⊆ C → A ⊂ C, A ⊆ B ∧ B ⊂ C → A ⊂ C |