Komprehensionen
Die „Zusammenfassung zu einem Ganzen“ wird auch als Komprehension bezeichnet. Die „bestimmten Objekte“, die zu einer Menge zusammengefasst werden, sind dabei durch eine Eigenschaft ℰ charakterisiert. Erfüllt ein Objekt a die Eigenschaft ℰ, so schreiben wir ℰ(a). Damit können wir nun die Mengenklammern-Notation einführen, die eine Komprehension zum Ausdruck bringt:
Komprehension | Definition | Bezeichnung | Lesart |
A = { a | ℰ(a) } | ∀a (a ∈ A ↔ ℰ(a)) | Komprehension | A ist die Menge aller a mit der Eigenschaft ℰ |
B = { a ∈ A | ℰ(a) } | B = { a | a ∈ A ∧ ℰ(a) } | Aussonderung | B ist die Menge aller a ∈ A mit der Eigenschaft ℰ |
Die Komprehension führt für gewisse Eigenschaften − die im üblichen mathematischen Alltag nicht verwendet werden − zu Widersprüchen (vgl. die Russell-Antinomie der Naiven Mengenlehre). Die Aussonderung, bei der Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft nur innerhalb einer Menge A aufgesammelt werden, ist dagegen in allen Fällen erlaubt (im Sinne eines Axioms).
Grundlegende Komprehensionen sind:
Menge | Definition | Bezeichnung | Lesart |
{ a } | { x | x = a } | Einermenge | Einermenge a |
{ a, b } | { x | x = a ∨ x = b } | (ungeordnete) Paarmenge | Paarmenge a, b |
{ a1, …, an } | { x | x = a1 ∨ … ∨ x = an } | Komprehension durch Aufzählung | Menge gebildet aus a1 bis an |
(a, b) | { { a }, { a, b } } | geordnetes Paar, Kuratowski-Paar, 2-Tupel | (geordnetes) Paar a, b |
(a, b, c) | ((a, b), c) | Tripel, 3-Tupel | Tripel a, b, c |
(a1, …, an) | ((a1, …, an − 1), an) | n-Tupel | Tupel a1 bis an |
Es gilt { a } = { a, a }, { a, b } = { b, a } = { a, b, a } usw. Bei geordneten Paaren ist die Reihenfolge wesentlich: Es gilt (a, b) = (c, d) genau dann, wenn a = c und b = d.