Allgemeine Mengenoperationen
Operation | Definition | Bezeichnung | Lesart |
⋂ A | { a | ∀B ∈ A a ∈ B } | Durchschnitt | Durchschnitt von A |
⋃ A | { a | ∃B ∈ A a ∈ B } | Vereinigung | Vereinigung von A |
A × B | { (a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B } | Kreuzprodukt, kartesisches Produkt | A Kreuz B |
A1 × … × An | { (a1, …, an) | ∀i ai ∈ Ai } | ||
A2, A3, … | A × A, A × A × A, … | A hoch 2, 3, … | |
AB | { f | f : A → B } | Funktionen von A nach B | A nach B |
℘(A) | { B | B ⊆ A } | Potenzmenge | Potenzmenge von A |
Die Operation ⋂ A ist für jedes nichtleere Mengensystem definiert, ⋃ A für jedes Mengensystem. (Formal wäre ⋂ ∅ = { a | ∀A ∈ ∅ a ∈ A } = { a | a = a }.) Ist eine Grundmenge M gegeben, wo wird oft ⋂ ∅ = M festgesetzt. Speziell gilt
⋂ { A, B } = A ∩ B, ⋃ { A, B } = A ∪ B.
Die anderen Operationen sind für beliebige Mengen erklärt. Für das Kreuzprodukt gilt zum Beispiel
A2 × A3 = { ((a1, a2), (b1, b2, b3)) | a1, a2, b1, b2, b3 ∈ A }.
Es ist in der Regel ungefährlich, An × Am mit An + m zu identifizieren.
Statt AB wird in der Literatur auch oft BA geschrieben. Die Notation AB hat den Vorteil, dass der Definitionsbereich auf der richtigen Seite steht. Zudem schließt sie Verwechslungen mit Potenzen nm aus. Spezialfälle sind
∅B = { ∅ } für alle B (einschließlich B = ∅), A∅ = ∅ für alle A ≠ ∅.
Für die Potenzmenge gilt
℘(∅) = { ∅ }, ℘({ a }) = { ∅, { a } },
℘({ a, b }) = { ∅, { a }, { b }, { a, b } }.
Für alle Mengen A gilt ∅ ∈ ℘(A) und A ∈ ℘(A).