Bild und Urbild

Objekt	Definition	Bezeichnung	Lesart
f [ C ], f (C)	{ f (a) \| a  ∈  C }	Bild	Bild von C unter f
f ⁻¹[ C ], f ⁻¹(C)	{ a \| f (a)  ∈  C }	Urbild	Urbild von C unter f
f ⁻¹[ { c } ]	{ a \| f (a) = c }	Faser	Faser von c unter f

Bei der Formung des Bildes einer Menge C unter eine Funktion sammeln wir alle Funktionswerte für Stellen in der gegebenen Menge. Bei der Formung des Urbildes sammeln wir dagegen alle Stellen, die durch f auf ein Element der Menge abgebildet werden. Ist f : A → B, so ist f [ A ] der Wertebereich und f ⁻¹[ B ] der Definitionsbereich von f.

Urbilder sind immer definiert, es wird nicht vorausgesetzt, dass f injektiv ist.

Eigenschaften von Bild und Urbild
f [ f ⁻¹[ C ] ] ⊆ C
f [ f ⁻¹[ C ] ] = C, falls C ⊆ rng(f)
f ⁻¹[ f [ C ] ] ⊇ C
f ⁻¹[ f [ C ] ] = C, falls f injektiv
f [ C ∩ D ] ⊆ f [ C ] ∩ f [ D ]
f [ C ∩ D ] = f [ C ] ∩ f [ D ], falls f injektiv
f [ C ∪ D ] = f [ C ] ∪ f [ D ]
f [ C − D ] ⊇ f [ C ] − f [ D ]
f [ C − D ] = f [ C ] − f [ D ], falls f injektiv
f ⁻¹[ C ∩ D ] = f ⁻¹[ C ] ∩ f ⁻¹[ D ]
f ⁻¹[ C ∪ D ] = f ⁻¹[ C ] ∪ f ⁻¹[ D ]
f ⁻¹[ C − D ] = f ⁻¹[ C ] − f ⁻¹[ D ]

Für nicht injektive Funktionen haben Urbilder bessere Vertauschungseigenschaften als Bilder. Ist zum Beispiel f konstant gleich c und sind C, D ⊆ dom(f) disjunkt und nichtleer, so gilt f [ C ∩ D ] = ∅ ⊂ { c } = f [ C ] ∩ f [ D ].