1. Äquivalenzen

In diesem und im folgenden Kapitel stehen zweistellige Relationen im Zentrum. Eine derartige Relation R bringt gewisse Elemente einer Menge A in Beziehung zueinander. Stehen a, b  ∈  A in der Beziehung R, so schreiben wir a R b oder R(a, b). Zu den wichtigsten Beispielen gehören die Gleichheit oder Identität = sowie Ordnungsrelationen ≤ bzw. < aller Art.

 Viele Relationen sind durch allgemeine Struktureigenschaften ausgezeichnet, die in verschiedenen Kontexten immer wieder auftauchen. Zum Beispiel kann jedes Element a von A zu sich selbst in Beziehung stehen. Diese sogenannte Reflexivität von von R gilt zum Beispiel für die Gleichheit = oder für Ordnungen des Typs ≤, nicht aber für Ordnungen des Typs <. Kombinationen von Struktureigenschaften führen zu Klassen von Relationen. Sammeln wir die wichtigsten Eigenschaften der Gleichheit, so gelangen wir zu den Äquivalenzrelationen, die den Gegenstand dieses Kapitels bilden. Die Betrachtung der wichtigsten Eigenschaften von ≤ oder < führt dagegen zu den Ordnungsrelationen, denen wir uns im zweiten Kapitel zuwenden werden.