Relationale Strukturen
Wir betrachten eine beliebige Menge A und eine zweistellige Relation R auf A, d. h.
R ⊆ A × A = { (a, b) | a, b ∈ A }.
Eine zweistellige Relation ist eine Menge von geordneten Paaren. Diese extensionale Sicht, einen Begriff mit seinem Umfang zu identifizieren, bewahrt uns davor, Relationen durch Beziehungen und Beziehungen durch Relationen zu erklären.
Konvention
Im Folgenden bedeutet „Relation“ stets zweistellige Relation. Wie üblich schreiben wir a R b, falls (a, b) ∈ R. Wir sagen dann, dass a in der Relation R zu b steht. Weiter verwenden wir oft die Kurzschreibweise
a R b R c anstelle von a R b und b R c.
Der Leser vergleiche gewohnte Ausdrücke wie a = b = c oder a ≤ b ≤ c.
Wir definieren:
Definition (relationale Struktur)
Ein geordnetes Paar der Form (A, R) mit R ⊆ A × A heißt eine relationale Struktur. Die Menge A heißt der Träger oder das Universum der Struktur.
Die Definition ist ein erstes Beispiel für den allgemeinen mathematischen Strukturbegriff: Eine Struktur entsteht, wenn wir eine Menge mit Relationen, Funktionen und Konstanten ausstatten. Relationale Strukturen gehören zu den einfachsten Typen. Sie besitzen nur eine Relation.
In der Definition ist der Sonderfall A = ∅ zugelassen. Speziell in der mathematischen Logik und Modelltheorie wird dieser Fall ausgeschlossen und ein Universum immer als nichtleer vorausgesetzt.
Relationale Strukturen und gerichtete Graphen
Jeder gerichtete Graph G ist eine relationale Struktur. Ist A endlich und nichtleer, so können wir eine relationale Struktur (A, R) als gerichteten Graphen (mit Schlingen) mit den Ecken A und Kanten R auffassen. Lassen wir bei Graphen leere und unendliche Eckenmengen zu, so gilt dies sogar für jede relationale Struktur. In diesem Sinne sind relationale Strukturen und gerichtete Graphen ein und dasselbe. Wie so oft ist es der Standpunkt, der den Unterschied ausmacht: In der Graphentheorie stehen kombinatorische und algorithmische Aspekte im Vordergrund, in der Theorie der Relationen allgemeine Ziele der Strukturierung in verschiedenen mathematischen Kontexten, in denen oft unendliche Mengen beteiligt sind.