Die Potenzbildung

 In einer operationalen Struktur können wir durch wiederholte Anwendung der Operation eine Potenz erklären:

Definition (Potenzierung)

Sei (H, ∘) eine operationale Struktur, und sei a  ∈  H. Dann definieren wir rekursiv

a1  =  a,  an + 1  =  an ∘ a  für alle n ≥ 1.

In einem Monoid (H, ∘, e) setzen wir zudem

a0  =  e.

 Die Potenz an für n ≥ 1 ist in jeder operationalen Struktur erklärt, sie besitzt aber nur in Halbgruppen die vertrauten Eigenschaften. Das Assoziativgesetz wird benötigt, um Rechenregeln wie

a2 ∘ a2  =  (a ∘ a) ∘ (a ∘ a)  =  ((a ∘ a) ∘ a) ∘ a  =  a4

beweisen zu können. Es gilt (Übung):

Satz (Potenzregeln)

Sei (H, ∘, e) ein Monoid. Dann gilt für alle a, b  ∈  H und m, n  ∈  ℕ:

(a)

am ∘ an  =  am + n,

(b)

(am)n  =  amn,

(c)

(a ∘ b)n  =  an ∘ bn,  falls  a ∘ b = b ∘ a.

 In der letzten Regel ist die Vertauschbarkeit von a und b wesentlich. Nach Definition der Potenz und dem Assoziativgesetz gilt

(a ∘ b)2  =  (a ∘ b) ∘ (a ∘ b)  =  a ∘ b ∘ a ∘ b,

a2 ∘ b2  =  (a ∘ a) ∘ (b ∘ b)  =  a ∘ a ∘ b ∘ b.

Ohne weitere Voraussetzungen an die Elemente a und b können wir nicht zeigen, dass die rechten Seiten übereinstimmen.

Bemerkung:  Doppelbedeutung der Potenz

Sind die Elemente des Monoids Transformationen auf einer Zahlenmenge wie ℝ, so besteht die Gefahr der Verwechslung von f 2 = f ∘ f mit der punktweisen Operation f 2 = f · f, wie wir sie zum Beispiel von sin2 gewohnt sind: In der Analysis ist sin2(x) = sin(x)2 und nicht etwa sin(sin(x)). Durch den Kontext ist aber in der Regel klar, um welches Objekt es sich handelt.

Beispiel: Potenzen von endlichen Transformationen

Seien wie oben A = { 1, …, 5 } und f, g  ∈  AA mit

f  =  (5, 4, 3, 5, 2),  g  =  (2, 1, 4, 5, 3).

Die ersten drei Potenzen von f sind:

ema22-AbbID3-3-4

Danach wiederholen sich die Potenzen zyklisch mit der Periode 3, d. h.

f 4  =  f,  f 5  =  f 2,  f 6  =  f 3,  …

Allgemein gilt f a = f b für alle a, b ≥ 1 mit a ≡  b mod(3).

Die ersten sechs Potenzen von g berechnen sich zu:

ema22-AbbID3-3-5

Speziell ist g6 = idA = g0. Die Potenzen wiederholen sich zyklisch mit der Periode 6, d. h. es gilt

ga  =  gb  für alle a, b ≥ 0 mit a ≡  b mod(6).

Ein Beispiel, bei dem die Ausgangstransformation nie mehr erreicht wird, ist h = (2, 3, 3, 5, 3). Die ersten drei Potenzen sind:

ema22-AbbID3-3-6

Es gilt hn = h2 für alle n ≥ 2. Damit ist die Potenzfolge konstant ab der Stelle 2.

 Die Periodizität dieser Beispiele ist ein allgemeines Phänomen eines endlichen Trägers. Hierzu betrachten wir: