4. Gruppen

Ist (M, ∘, e) ein Monoid und a  ∈  M, so stellt sich die Frage, ob wir e von a durch Anwendung der Operation erreichen können: Lässt sich a mit einem Element b von M so verknüpfen, dass sich e ergibt? Gilt

a ∘ b  =  e  =  b ∘ a

so heißen die Elemente a und b des Monoids M invers zueinander. Der Leser denke etwa an

a + b  =  0  =  b + a  oder  a · b  =  1  =  b · a  für Zahlen a, b,

A · B  =  E_n  =  B · A  für (n × n)-Matrizen A, B,

f ∘ g  =  id_A  =  g ∘ f  für Transformationen f, g : A → A.

Der Frage nach der Existenz und den Eigenschaften von inversen Elementen gehen wir in diesem Kapitel nach. Dabei gelangen wir zum Begriff einer Gruppe und damit zu einem Grundbegriff der modernen Mathematik.