Invertierungsregeln

Durchgehend im Einsatz sind:

Satz (Rechenregeln für Inverse)

Sei M ein Monoid, und seien a, b  ∈  M invertierbar. Dann sind auch a⁻¹ und a ∘ b invertierbar, und es gilt

(a)	(a⁻¹)⁻¹ = a,

(b)	(a ∘ b) ⁻¹ = b⁻¹ ∘ a⁻¹.

Beweis

zu (a): Sei b = a⁻¹. Dann gilt

a ∘ b = a ∘ a⁻¹ = e = a⁻¹ ∘ a = b ∘ a,

sodass also a invers zu b ist. Also ist a = b⁻¹ = (a⁻¹)⁻¹.

zu (b): Wir rechnen

(a ∘ b) ∘ (b⁻¹ ∘ a⁻¹) = a ∘ b ∘ b⁻¹ ∘ a⁻¹ = a ∘ e ∘ a⁻¹ = a ∘ a⁻¹ = e.

Analog ist (b⁻¹ ∘ a⁻¹) ∘ (a ∘ b) = e. Dies zeigt, dass das Element b⁻¹ ∘ a⁻¹ invers zum Element a ∘ b des Monoids ist.

Durch Induktion erhalten wir die allgemeinere Regel

(a₁ ∘ … ∘ a_n)⁻¹ = a_n⁻¹ ∘ … ∘ a₁⁻¹ für alle invertierbaren a₁, …, a_n  ∈  M.

Bemerkenswert ist die Umkehr der Reihenfolge. Der Satz ist ein schönes Beispiel dafür, wie erst der Beweis eine Aussage beleuchtet. Der Ansatz

(a ∘ b) ∘ (a⁻¹ ∘ b⁻¹) = a ∘ b ∘ a⁻¹ ∘ b⁻¹ = …

bleibt stecken, da wir den rechten Term ohne weitere Voraussetzungen nicht mehr vereinfachen können. Gilt a ∘ b = b ∘ a, so ist (a ∘ b)⁻¹ = a⁻¹ ∘ b⁻¹.

Beispiele

(1)	In (ℝ, ·) ist x = (x⁻¹)⁻¹ = 1/(1/x) für alle x ≠ 0.

(2)

Bekannt ist uns die Umkehr der Reihenfolge von der Komposition von Funktionen: Sind f : A → B, g : B → C bijektiv, so ist h = g ∘ f : A → C bijektiv, und die Umkehrabbildung von h ist f ⁻¹ ∘ g^{− 1} : C → A und nicht etwa g^{− 1} ∘ f ⁻¹, was im Allgemeinen gar nicht definiert ist. Im Fall A = B = C entspricht dies der Invertierungsregel (b) für das Transformationsmonoid ^AA.

(3)	Für invertierbare (n × n)-Matrizen A, B gilt (AB)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹.