Gruppentafeln und Lateinische Quadrate
Aus der Bijektivität aller Translationen ergibt sich:
Gruppentafeln sind Lateinische Quadrate
Jede Zeile und jede Spalte einer Gruppentafel ist eine Permutation der Gruppenelemente.
In den Diagonalen einer Gruppentafel muss, wie die obigen Beispiele zeigen, keine Permutation der Gruppenelemente stehen.
In den Übungen werden wir sehen, dass folgende Umkehrung gilt:
Assoziative Lateinische Quadrate sind Gruppen
Ist die Tafel einer nichtleeren Halbgruppe H derart, dass jede Zeile und jede Spalte eine Permutation von H bildet, so ist die Halbgruppe eine Gruppe.
Es ist möglich, die Lateinische-Quadrate Eigenschaft an die Spitze zu stellen und auf die Forderung der Assoziativität zu verzichten:
Definition (Quasigruppe, Loop)
Ein Magma (Q, ∘) heißt Quasigruppe, falls alle Translationen ℓa, ra : Q → Q bijektiv sind. Existiert zusätzlich ein neutrales Element e, so heißt (Q, ∘, e) ein Loop.
Operationstafel eines nicht assoziativen Loops auf { 1, …, 5 }:
zum Beispiel ist (2 ∘ 2) ∘ 2 = 4 ∘ 2 = 1 ≠ 5 = 2 ∘ 4 = 2 ∘ (2 ∘ 2)