Die Gruppenaxiome
Wir haben Gruppen schrittweise über Halbgruppen und Monoide eingeführt. Durch Aufsammeln der Definitionen ergibt sich folgende direkte axiomatische Charakterisierung: Eine Struktur (G, ∘, e) ist genau dann eine Gruppe, wenn gilt:
| (G1) | ∀a, b, c ∈ G (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)(Assoziativgesetz) |
| (G2) | ∀a ∈ G a ∘ e = a = e ∘ a(Neutralität von e) |
| (G3) | ∀a ∈ G ∃b ∈ G a ∘ b = e = b ∘ a(Existenz inverser Elemente) |
Wir nennen die Aussagen (G1) − (G3) auch die Gruppenaxiome. Bemerkenswerterweise lassen sich die Axiome noch vereinfachen:
Satz (vereinfachte Gruppenaxiome)
Sei (G, ∘) eine operationale Struktur. Es gelte:
| (G1) | ∀a, b, c ∈ G (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) |
| (G2)′ | ∃e ∈ G ∀a ∈ G a ∘ e = a |
| (G3)′ | ∀a ∈ G ∃b ∈ G a ∘ b = e, wobei e wie in (G2)′ ist. |
Dann ist e wie in (G2)′ eindeutig bestimmt und (G, ∘, e) eine Gruppe.
Beweis
Sei e ein Element von G wie in (G2)′. Wir zeigen, dass die Gruppenaxiome (G2) und (G3) für e gelten. Hierzu sei a ∈ G beliebig. Nach (G3)′ gibt es ein b ∈ G mit a ∘ b = e. Erneut nach (G3)′ existiert ein c ∈ G mit b ∘ c = e. Dann gilt
b ∘ a = b ∘ a ∘ e = b ∘ a ∘ b ∘ c = b ∘ e ∘ c = b ∘ c = e.
Damit ist nun
e ∘ a = a ∘ b ∘ a = a ∘ e = a.
Damit sind die Gruppenaxiome (G3) und (G2) nachgewiesen, sodass (G, ∘, e) eine Gruppe ist.
Statt rechtsneutraler und rechtsinverser Elemente wie in (G2)′ und (G3)′ können wir auch linksneutrale und linksinverse Elemente fordern. Wir dürfen aber nicht mischen. Die Rechts-Links-Kombination
∃e ∈ G ∀a ∈ G a ∘ e = a und ∀a ∈ G ∃b ∈ G b ∘ a = e
genügt nicht für eine Gruppe. Ein Gegenbeispiel ist ℝ* mit a ∘ b = a |b| für alle a, b ∈ ℝ*. Darüber hinaus gibt es sogar endliche Gegenbeispiele (Übung).