Analyse der Permutationsgruppe S3
Die Gruppe S3 hat 3! = 6 Elemente, die wir wie folgt beschreiben können:
| id | = (1, 2, 3) | Identität |
| π23 | = (1, 3, 2) | Transposition von 2 und 3 |
| π13 | = (3, 2, 1) | Transposition von 1 und 3 |
| π12 | = (2, 1, 3) | Transposition von 1 und 2 |
| σ+ | = (2, 3, 1) | zyklische Vertauschung (1 nach 2, 2 nach 3, 3 nach 1) |
| σ− | = (3, 1, 2) | azyklische Vertauschung (1 nach 3, 2 nach 1, 3 nach 2) |
Eine Untergruppe der S3 hat nach dem Satz von Lagrange die Ordnung 1, 2, 3 oder 6. Neben den trivialen Untergruppen { id } und S3 besitzt die S3 genau noch die vier Untergruppen
U1 = { id, π23 }, U2 = { id, π13 }, U3 = { id, π12 }, Uσ = { id, σ+, σ− }.
Für U1 ergeben sich folgende Links- und Rechtsnebenklassen:
Die Links- und Rechtsnebenklassen von U1. Das linke Diagramm zeigt die Zerlegung der S3 durch die Äquivalenz ∼U1, das rechte die Zerlegung durch ∼U1.
Die Untergruppe U1 ist also, obwohl Abelsch, kein Normalteiler der S3. Analog sind U2 und U3 keine Normalteiler.
Für die Untergruppe U = Uσ berechnen wir folgende Links- und Rechtsnebenklassen:
Allgemein gilt
id U = σ− U = σ+ U = U id, πij U = { π23, π13, π12 } = U πij für i ≠ j.
Damit ist Uσ ein Normalteiler der S3. Es gilt
S3/U = { U, T } mit den Transpositionen T = { π23, π13, π23 }.
Die Faktorgruppe S3/U ist also eine Abelsche Gruppe der Ordnung 2 mit dem neutralen Element U. Es gilt T2 = U.