Allgemeine Homomorphismen
Wir betrachten zwei Strukturen, also Mengen A und B zusammen mit Operationen, Relationen und Konstanten. Die beiden Strukturen sollen den gleichen Typ haben, d. h.
(1) | Jeder n-stelligen Operation gA von A entspricht eine n-stellige Operation gB von B. |
(2) | Jeder n-stelligen Relation RA von A entspricht eine n-stellige Relation RB von B. |
(3) | Jeder Konstanten cA von A entspricht eine Konstante cB von B. |
So haben zum Beispiel zwei Ordnungen (P, <) und (Q, ≺), zwei Gruppen (G, ∘, e) und (H, +, 0) oder zwei Ringe (R, +, ·, 0, 1) und (S, +, ·, 0, 1) die gleiche Struktur, nicht aber eine Halbgruppe (H, ∘) und ein Körper (K, +, ·, 0, 1).
Wir betrachten nun eine Abbildung φ : A → B zwischen zwei Strukturen des gleichen Typs, also beispielsweise eine Abbildung zwischen zwei partiellen Ordnungen, Gruppen oder Ringen. Traditionell werden vor allem in der Algebra kleine griechische Buchstaben wie φ, ψ, χ für derartige Abbildungen verwendet. Die Abbildung φ ist zunächst nur eine Abbildungen zwischen den Trägern der Strukturen. In vielen Fällen respektiert sie aber die Operationen, Relationen und Konstanten der Strukturen im Sinne der folgenden Definition.
Definition (Homomorphismus)
Eine Abbildung φ : A → B zwischen zwei Strukturen des gleichen Typs heißt ein (starker) Homomorphismus, falls gilt:
(1) | Für alle n-stelligen Operationen gA, gB und alle a1, …, an ∈ A gilt: φ(gA(a1, …, an)) = gB(φ(a1), …, φ(an)). |
(2) | Für alle n-stelligen Relationen RA, RB und alle a1, …, an ∈ A gilt: RA(a1, …, an) genau dann, wenn RB(φ(a1), …, φ(an)). |
(3) | Für alle Konstanten cA, cB gilt φ(cA) = cB. |
Der Zusatz „stark“ bezieht sich auf „genau dann, wenn“ in (2). Allgemeinere Homomorphismen (die wir hier nicht betrachten), erhalten wir, wenn wir in (2) lediglich „impliziert“ fordern.
Unsere Strukturen sind in vielen Fällen axiomatisch gekennzeichnet. Homomorphismen erhalten dann einen Zusatz:
Definition (Homomorphismen für axiomatische Strukturen)
Ein Homomorphismus zwischen zwei Gruppen heißt ein Gruppen-Homomorphismus. Analoges gilt für Halbgruppen, Monoide, Ringe, Körper, Äquivalenzen, Ordnungen, Graphen, …
Eine strukturerhaltende Abbildung φ : A → B zwischen Strukturen (A, ∘, <, 1) und (B, +, <, 0)
Wir konkretisieren die allgemeine Definition für drei exemplarische Fälle: Gruppen, Ringe und Ordnungen.
1. Gruppen-Homomorphismen
Seien (G, ∘, e), (G′, ∘′, e′) Gruppen. Dann ist eine Abbildung φ : G → G′ ein Gruppen-Homomorphismus, falls gilt:
(1) | ∀a, b ∈ G φ(a ∘ b) = φ(a) ∘′ φ(b), |
(2) | φ(e) = e′. |
Wir schreiben dann auch φ : (G, ∘, e) → (G′, ∘′, e′).
2. Ring-Homomorphismen
Seien (R, +, ·, 0, 1) und (S, +, ·, 0, 1) Ringe (mit der Einfachheit halber gleich bezeichneten, aber in der Regel verschiedenen Operationen und Konstanten). Dann ist eine Abbildung φ : R → S ein Ringhomomorphismus, falls gilt:
(1) | ∀a, b ∈ R (φ(a + b) = φ(a) + φ(b) ∧ φ(ab) = φ(a)φ(b)), |
(2) | φ(0) = 0, φ(1) = 1. |
Wir schreiben auch wieder φ : (R, +, ·, 0, 1) → (S, +, ·, 0, 1).
3. Ordnungshomomorphismen
Seien (P, <) und (Q, ≺) partielle Ordnungen. Dann ist eine Abbildung φ : P → Q ein (starker) Ordnungshomomorphismus, falls gilt:
∀a, b ∈ P (a < b genau dann, wenn φ(a) ≺ φ(b)).
Wir schreiben wieder φ : (P, <) → (Q, ≺).