Homomorphietypen

 Wie immer bei Abbildungen sind auch für die Homomorphismen die Eigenschaften injektiv, surjektiv und bijektiv von besonderem Interesse. Hier haben sich eigene Sprechweisen etabliert:

Definition (Abbildungseigenschaften von Homomorphismen)

Ein Homomorphismus φ : A → B heißt

(1)

ein Monomorphismus, falls φ injektiv ist,

(2)

ein Epimorphismus, falls φ surjektiv ist,

(3)

ein Isomorphismus, falls φ bijektiv ist.

Zwei Strukturen A und B heißen isomorph, in Zeichen A ≅ B, falls es einen Isomorphismus φ : A → B gibt. Wir schreiben auch φ : A ≅ B, falls φ ein Isomorphismus zwischen den Strukturen A und B ist.

 Sind zwei Strukturen isomorph, so unterscheiden sie sich nur in den Namen ihrer Elemente. Ist φ : A → B ein Isomorphismus, so geht die Struktur A in die Struktur B über, wenn wir jedes Element a von A in φ(a) umbenennen. Damit stimmen die Strukturen in allen Eigenschaften überein, die sich mit Hilfe der Operationen, Relationen und Konstanten formulieren lassen. Sind zum Beispiel A und B isomorphe Gruppen, so ist A genau dann Abelsch, wenn B dies ist. Sind zwei Ringe isomorph, so ist der eine genau dann nullteilerfrei, wenn der andere dies ist. Sind zwei partielle Ordnungen isomorph, so sind beide Ordnungen linear oder beide Ordnungen nicht linear, usw.

 Ein Homomorphismus kann eine Struktur in sich selbst abbilden. Für diesen Spezialfall gibt es zwei weitere Sprechweisen:

Definition (Endomorphismus, Automorphismen)

Ein Homomorphismus φ : A → A von einer Struktur A in sich selbst heißt ein Endomorphismus. Ist φ zudem bijektiv (d. h. ein Isomorphismus), so heißt φ ein Automorphismus.

 Ein Endomorphismus muss eine Struktur homomorph in sich selbst abbilden. Die bloße Übereinstimmung der Träger genügt nicht. Der Ordnungsisomorphismus φ : (ℤ, <) → (ℤ, >) mit φ(a) = −a für alle a  ∈  ℤ ist kein Endomorphismus.

 Auch für Homomorphismen verwenden wir unsere liberalen Sprechweisen. Wir schreiben zum Beispiel: „Sei φ : G → G′ ein Gruppen-Homomorphismus.“ statt: „Sei φ : (G, ∘, e) → (G′, ∘′, e′) ein Gruppen-Homomorphismus.“ Zudem bezeichnen wir die Operationen, Relationen und Konstanten auf beiden Seiten eines Homomorphismus oft gleich, obwohl sie in der Regel verschieden sind.

 Beispiele für das Quintett „Mono, Epi, Iso, Endo, Auto“ werden wir im weiteren Verlauf kennenlernen.