Die Automorphismen der Permutationsgruppe S3
Wir bestimmen alle Automorphismen der S3. Für alle π ∈ S3 ist φπ : S3 → S3 mit
φπ(σ) = π ∘ σ ∘ π−1 für alle σ ∈ S3
ein Automorphismus der S3 (Übung). Wir notieren diese sog. inneren Automorphismen der S3 kurz in der Form π* statt φπ, sodass π*(σ) = π ∘ σ ∘ π−1.
Element | id | π23 | π13 | π12 | σ+ | σ− |
Inverses | id | π23 | π13 | π12 | σ− | σ+ |
Inversentafel der S3
Gruppentafel der S3 (links) und Anwendungstafel der Automorphismen π* (rechts)
Damit haben wir sechs verschiedene Automorphismen der S3 gefunden. Es gibt keine weiteren Automorphismen (Übung), sodass
Aut(S3) = { id*, π12*, π13*, π23*, σ+*, σ−* }.
Bemerkenswerterweise haben die Gruppen S3 und Aut(S3) nicht nur die gleiche Ordnung, sondern sie sind sogar isomorph. Die Abbildung Φ : S3 → Aut(S3) mit
Φ(π) = π* für alle π ∈ S3
ist ein Gruppenisomorphismus: Es gilt π* ∘ ρ* = (π ∘ ρ)* für alle π, ρ ∈ Aut(S3). Die Gruppentafel von Aut(S3) ist die Tafel der S3, bei der jedes Element mit einem Stern versehen ist. Für alle π ∈ S3 spielt also π* in Aut(S3) genau die Rolle, die π in S3 spielt. Die Elemente der Gruppen unterscheiden sich in diesem Sinne nur durch ihre Namen, und in diesem Fall sogar nur durch einen Stern.