Ring- und Körper-Homomorphismen

Wir betrachten nun noch Ring- und Körper-Homomorphismen genauer. Ein Ring-Homomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen zwei Ringen (R, +, ·, 0, 1) und (S, +, ·, 0, 1). Ob eine Abbildung φ : R → S ein Ring-Homomorphismus ist, lässt sich mit dem folgenden Satz überprüfen:

Satz (Charakterisierung von Ring-Homomorphismen)

Eine Abbildung φ : R → S zwischen zwei Ringen ist genau dann ein Ring-Homomorphismus, wenn gilt:

(a)	∀a, b  ∈  R φ(a + b) = φ(a) + φ(b),

(b)	∀a, b  ∈  R φ(a b) = φ(a) φ(b),

(c)

φ(1) = 1.

Beweis

Da R mit + und 0 eine Gruppe bildet, ist φ ein Homomorphismus zwischen den Abelschen Gruppen (R, +, 0) und (S, +, 0). Damit gilt automatisch φ(0) = 0.

Dass die 1 von R auf die 1 von S abgebildet wird, ist im Gegensatz zur 0 für Ring-Homomorphismen nicht mehr automatisch richtig. Sei hierzu S vom Nullring verschieden und φ : R → S definiert durch φ(a) = 0 für alle a  ∈  R. Dann gilt (a) und (b) wie in Satz, nicht aber (c). Für Körper genügt φ(1) ≠ 0, da dann aus

φ(1) = φ(1 · 1) = φ(1) φ(1)

aufgrund der Invertierbarkeit von φ(1) folgt, dass φ(1) = 1.

Beispiele

(1)	Sei m ≥ 1. Dann ist die Abbildung φ : ℤ → ℤ_m mit φ(a) = [ a ] für alle a  ∈  ℤ ein Ring-Epimorphismus vom Ring der ganzen Zahlen in den Restklassenring (ℤ_m, +, ·, [ 0 ], [ 1 ]).

(2)	Sei m ≥ 1. Dann ist die Abbildung φ : ℤ_m → ℤ_m mit φ([ a ]) = [ 2 a ] für alle [ a ]  ∈  ℤ_m wohldefiniert und ein Ring-Endomorphismus auf dem Restklassenring (ℤ_m, +, ·, [ 0 ], [ 1 ]).

(3)	Die komplexe Konjugation ist ein Körper-Automorphismus für den Körper ℂ der komplexen Zahlen.