Rechenregeln in angeordneten Körpern

 Die Anordnungsaxiome genügen, um alle vertrauten Eigenschaften für Ungleichungen herleiten zu können. Einige davon versammelt der folgende Satz.

Satz (Rechenregeln in angeordneten Körpern)

Sei K ein angeordneter Körper. Dann gilt für alle a, b, c  ∈  K:

(i)

0  <  1,  −1  <  0,

(ii)

0  <  a, b  →  0  <  a + b,

(iii)

a, b  <  0  →  a + b  <  0  ∧  0  <  ab,

(iv)

a  <  0  ∧  0  <  b  →  a b < 0,

(v)

c  >  0  ∧  a  <  b  →  c a  <  c b,

(vi)

c  <  0  ∧  a  <  b  →  c b  <  c a,

(vii)

0  <  a  ∧  b  >  1  →  a  <  a b,

(viii)

0  <  a  ∧  b  <  1  →  ab  <  a.

Beweis

Wir behandeln exemplarisch die Multiplikation einer Ungleichung a < b mit einem negativen Körperelement c < 0. Seien also a, b, c Körperelemente mit a < b und c < 0. Dann gilt

c − c  <  0 − c

nach Translationsinvarianz, sodass

0  <  −c.

Analog folgt aus a < b, dass

0  =  a − a  <  b − a

Damit gilt nach der Positivitätsregel, dass

0  <  (−c)(b − a)  =  ca − cb.

Wieder nach Translationsinvarianz gilt also

cb  <  ca − cb + cb  =  ca.

 Der Beweis der anderen Aussagen sei dem Leser zur Übung überlassen. Aus den Regeln folgt, dass

sgn(ab)  =  sgn(a) sgn(b)  für alle a, b  ∈  K.

Damit ist die Signumsfunktion ein Endomorphismus auf dem Monoid (K, ·, 1).