Reguläre Mengen

 Wir haben gesehen, dass die Russell-Komprehension R = { a | a  ∉  a } in ZFC eine echte Klasse ist. Wie steht es aber mit der Existenz nichtregulärer Mengen, d. h. Mengen a mit der Eigenschaft a  ∈  a? Kann es solche Mengen geben? Anders formuliert: Wie ist das Verhältnis der Klassen R und V = { a | a = a }? Die Antwort auf diese Fragen wird in ZFC mehr oder weniger direkt axiomatisch gegeben:

Unter diesem Axiom kann keine irreguläre Menge existieren: Annahme, es gibt ein a mit a  ∈  a. Dann setzen wir a* = { a }. Nach dem Fundierungsaxiom besitzt a* ein Element b mit a* ∩ b = ∅. Da a* nur das eine Element a enthält, gilt also

a* ∩ a  =  ∅.

Wegen a  ∈  a* und a  ∈  a ist aber a  ∈  a* ∩ a, im Widerspruch zu a* ∩ a = ∅.

 In ZFC ist also jede Menge regulär, sodass R = V. Allgemeiner sind durch das Fundierungsaxiom  ∈ -Zyklen der Form

a₀  ∈  a₁  ∈  … a_n  ∈  a₀

und unendliche absteigende  ∈ -Ketten

a₀  ∋  a₁  ∋  a₂  ∋  …  ∋  a_n  ∋  …

ausgeschlossen (Übung).

 In der mengentheoretischen Untersuchung von ZFC sorgt das Fundierungsaxiom für ein übersichtliches Mengenuniversum, das stufenweise aus der leeren Menge aufgebaut wird. Im allgemeinen mathematischen Alltag spielt es dagegen keine Rolle. Für die dort betrachteten Mengen gilt das Fundierungsaxiom automatisch, d. h. die Existenz eines b  ∈  a mit a ∩ b = ∅ lässt sich für zahlreiche Mengen a mit Hilfe der anderen Axiome beweisen.

 Die Axiome von ZFC ohne das Fundierungsaxiom schließen Mengen a mit der Eigenschaft a  ∈  a nicht aus. Alternativen zum Fundierungsaxiom, die irreguläre Mengen fordern, sind möglich. Die Frage ist, welche Welt man durch die Axiome beschreiben möchte.