Übungen
Übung 1
Zeigen Sie in Analogie zur Argumentation der Russell-Zermelo-Paradoxie (ohne Verwendung von Axiomen), dass es keine Menge A gibt mit
A = { a | ¬ ∃b (a ∈ b ∧ b ∈ a) }.
Übung 2
Zeigen Sie mit Hilfe der Axiome von ZFC, dass die folgenden Komprehension für alle Mengen a, b, c, a1, …, an Mengen sind:
(a) | { a }, |
(b) | { a, b, c }, |
(c) | { a1, …, an }. |
Übung 3
Zeigen Sie mit Hilfe der Axiome von ZFC, dass für alle Mengen a, b auch
| a ∪ b | = { c | c ∈ a ∨ c ∈ b }, |
| a ∩ b | = { c | c ∈ a ∧ c ∈ b }, |
| a − b | = { c | c ∈ a ∧ c ∉ b }, |
| a Δ b | = (a − b) ∪ (b − a) |
Mengen sind.
Übung 4
Zeigen Sie mit Hilfe der Axiome von ZFC, dass für alle Mengen a, b
a × b = { (c, d) | c ∈ a ∧ d ∈ b }
eine Menge ist, wobei
(c, d) = { { c }, { c, d } }.(Kuratowski-Paar)
Hinweis: Verwenden Sie Aussonderung für eine hinreichend große Menge.
Übung 5
Zeigen Sie mit Hilfe der Axiome von ZFC:
(a) | Es gibt keine Mengen a0, …, an mit a0 ∈ a1 ∈ … an ∈ a0. |
(b) | Es gibt keine Mengen a0, a1 …, an, … mit a0 ∋ a1 ∋ a2 ∋ … ∋ an ∋ … |