Äquivalenzen und Folgerungen des Axioms

 Wir kürzen das Auswahlaxiom mit AC ab, für „axiom of choice“:

 Im Folgenden sei ZF das Axiomensystem ZFC ohne das Auswahlaxiom AC. Wir betrachten nun eine Reihe von Aussagen, die über ZF äquivalent zum Auswahlaxiom sind. Jede dieser Aussagen könnte also AC in der Axiomatik ersetzen, ohne dass die Theorie dadurch verändert werden würde. Wir beginnen mit:

 Ist A eine Menge nichtleerer, aber nicht notwendig paarweiser disjunkter Mengen, so können wir anschaulich immer noch aus jedem Element von A ein Element auswählen. Bei der Formulierung des Axioms können wir aber auf die Voraussetzung der Disjunktheit nicht verzichten, wenn wir „genau ein“ beibehalten wollen (Übung). Unsere Anschauung lässt sich aber formalisieren, wenn wir mit Folgen statt mit Mengen arbeiten. Zur Erinnerung:

 Folgen sind Funktionen und Funktionen sind Folgen. Zwischen den Schreibweisen f (i) und a_i können wir frei hin und her wechseln und je nach Kontext die suggestivere Form benutzen. Es gilt

f  =  { (i, f (i)) | i  ∈  I }  =  { (i, a_i) | i  ∈  I }  =  (a_i)_{i  ∈  I}.

Wir definieren nun:

 Eine Auswahlfunktion wählt für jeden Index i ein Element aus der diesem Index zugeordneten Menge A_i. Der Beweis der folgenden Äquivalenz ist im Wesentlichen eine technische Umformulierung der Definitionen.

 Wir können also das Auswahlaxiom auch so formulieren:

Jede Folge nichtleerer Mengen besitzt eine Auswahlfunktion.

Dies Version verwendet den Funktionsbegriff und im Vergleich ist die ursprüngliche Version kürzer und einfacher. Im mathematischen Alltag ist die funktionale Form dagegen sehr nützlich. Sie erlaubt:

 Die Situation ist ein Paradebeispiel für die Freiheit, die die Mengenlehre der Mathematik zur Verfügung stellt. Aus axiomatischer Sicht ist neben dem Auswahlaxiom auch noch das Ersetzungsaxiom beteiligt. Letzteres muss nicht bemüht werden, wenn die gewählten b aus einer bereits bekannten Grundmenge B entnommen werden können, sodass für alle a  ∈  A ein b  ∈  B existiert mit ℰ(a, b).

 Es ist guter Stil, die Form „ein b mit …“ nur dann zu verwenden, wenn auf einen Einsatz das Auswahlaxioms mutmaßlich oder nachweislich nicht verzichtet werden kann. Können wir die Funktionswerte eindeutig durch eine Eigenschaft ℰ′(a, b) spezifizieren, so schreiben wir

(++)  f (a)  =  „das eindeutige b mit ℰ′(a, b)“  für alle a  ∈  A.

Es gilt dann

f  =  { (a, b) | a  ∈  A und ℰ′(a, b) },

sodass die Existenz von f bereits durch die Axiome von ZF garantiert wird. Ist jedes b Element einer gewissen Menge B, so gilt f ⊆ A × B.

 Folgende Äquivalenz zum Auswahlaxiom ist ein Paradebeispiel für die Definition einer Funktion durch „ein …“:

 Eine natürliche Frage ist, ob die Äquivalenz zum Auswahlaxiom erhalten bleibt, wenn wir in (b) auf die Inversenbedingung g ∘ f = id_A verzichten. Wir formulieren hierzu:

 Definieren wir |A| ≤* |B|, falls A = ∅ oder ein surjektives g : B → A existiert, so besagt das Partitionsprinzip, dass für alle Mengen A, B gilt:

|A| ≤* |B|  impliziert  |A| ≤ |B|.

Die umgekehrte Implikation gilt in ZF, sodass das Partitionsprinzip besagt, dass die Mächtigkeitsrelationen ≤ und ≤* zusammenfallen.

 Das Partitionsprinzip wurde in Spezialfällen bereits von Cantor verwendet und allgemein 1902 von Beppo Levi formuliert. Obiger Satz zeigt, dass es aus dem Auswahlaxiom folgt. Wie sieht es mit der Umkehrung aus? Überraschenderweise ist die Frage

Impliziert das Partitionsprinzip in ZF das Auswahlaxiom?

noch offen. Man weiß, dass das Partitionsprinzip nicht in ZF beweisbar ist (es sei denn ZF ist widerspruchsvoll) und das das Prinzip gewisse schwache Formen von AC impliziert.

 Die Involvierung des Auswahlaxioms erklärt, warum in der Definition des Mächtigkeitsvergleichs |A| ≤ |B| die Existenz einer Injektion von A nach B gegenüber der einer Surjektion von B nach A (für A ≠ ∅) bevorzugt wird. Die Definition mit Injektionen ist aus axiomatischer Sicht einfacher.

 Die Untersuchung von ZFC hat eine lange Liste von Äquivalenzen zum Auswahlaxiom ans Licht gebracht. Darin finden sich neben mengentheoretischen Aussagen auch viele Aussagen aus anderen mathematischen Disziplinen. Der folgende Satz, den wir ohne Beweis angeben, versammelt einige typische Beispiele.

 Daneben gibt es zahlreiche Aussagen, zu deren Beweis AC eingesetzt wird, die aber zu schwach sind, um AC zu implizieren. Beispiele hierzu sind:

 Der Leser führe sich die Beweise der beiden ersten Aussagen vor Augen: Um eine abzählbare Vereinigung abzählbar unendlicher Mengen mit Hilfe der Cantorschen Paarungsfunktion abzählen zu können, muss für jede Menge eine Aufzählung gewählt werden. Sind derartige Aufzählungen gegeben, ist der Einsatz des Auswahlaxiom nicht nötig. Und um zu zeigen, dass sich die Menge der natürlichen Zahlen in eine unendliche Menge einbetten lässt, muss unendlich oft aus der Menge ein Element gewählt werden, sodass sich eine injektive Folge in der Menge ergibt.

 Manchmal ist der Einsatz von AC vermeidbar. Das Paradebeispiel ist:

 Der Beweis wird durch Induktion nach der Anzahl |A| der Elemente von A geführt (Übung). Der Satz zeigt, dass das Auswahlaxiom erst im Unendlichen von Interesse ist. Speziell folgt aus den anderen Axiomen, dass es für jede nichtleere Menge A eine Menge B der Form B = { a } mit a  ∈  A gibt.

 Die Endlichkeit „innerhalb von A“ erfordert dagegen das Auswahlaxiom. Auch wenn jedes Element eines Mengensystems A wie in AC nur zwei Elemente besitzt, muss für die Existenz einer Auswahlmenge für A im Allgemeinen das Auswahlaxiom eingesetzt werden.

 Sind die Elemente eines Systems A wie im Auswahlaxiom Teilmengen von ℕ, so brauchen wir AC nicht, um eine Auswahlmenge B zu erhalten. Wir definieren f : A → ⋃ A durch

f (a)  =  „das kleinste Element von a“  für alle a  ∈  A.

Dann ist B = f [ A ] eine Auswahlmenge für A. Allgemein gilt dies, wenn jede nichtleere Teilmenge von ⋃ A ein in einem bestimmten Sinne ausgezeichnetes Element besitzt.