Inhalt

3. Abschnitt Mathematische Strukturen

1. Äquivalenzen

Relationale Strukturen

Äquivalenzrelationen

Zerlegungen einer Menge

Kongruenzrelationen

Übungen

2. Ordnungen

Partielle Ordnungen

Hasse-Diagramme

Lineare Ordnungen

Endliche Folgen

Schranken

Dichte Ordnungen

Ordnungen aus beliebigen Relationen

Elemente der Ordnungstheorie

Übungen

3. Algebraische Strukturen

Operationen

Operationstafeln und Translationen

Halbgruppen

Monoide

Beispielsammlung

Transformationen auf endlichen Mengen

Produktstrukturen

Die Potenzbildung

Orbits unter einer Transformation

Übungen

4. Gruppen

Invertierbare Elemente eines Monoids

Invertierungsregeln

Die Kürzungsregeln und das Lösen von Gleichungen

Negative Exponenten

Gruppen

Die invertierbaren Elemente eines Monoids

Gruppentafeln und Lateinische Quadrate

Die Gruppenaxiome

Kommutative Strukturen

Notationen

Die Rechenregeln für Brüche

Übungen

5. Ringe und Körper

Ringe

Rechenregeln in Ringen

Körper

Die Charakteristik eines Körpers

Schiefkörper, Quaternionen und Oktaven

Polynomringe

Übungen

6. Unterstrukturen

Abgeschlossene Mengen und Unterstrukturen

Algebraische Unterstrukturen

Kriterien für Unterstrukturen

Der Satz von Lagrange

Normalteiler

Analyse der Permutationsgruppe S₃

Der Abschluss einer Menge

Übungen

7. Strukturerhaltende Abbildungen

Allgemeine Homomorphismen

Homomorphietypen

Gruppen-Homomorphismen

Die Automorphismen der Permutationsgruppe S₃

Kern und Bild

Die Homomorphiesätze

Ring- und Körper-Homomorphismen

Ideale in Ringen

Algebraische Strukturen als Transformationsstrukturen

Übungen

8. Zyklische Gruppen

Zur Klassifikation endlicher Gruppen

Zyklische Gruppen

Der Chinesische Restsatz

Übungen

9. Angeordnete Körper

Die Anordnungsaxiome

Rechenregeln in angeordneten Körpern

Anordenbarkeit eines Körpers

Vollständig angeordnete Körper

Metrische Vollständigkeit

Übungen

4. Abschnitt Mengenlehre

1. Endliche Mengen

Das Schubfachprinzip

Identifizierungen

Elementare Mächtigkeitsbestimmungen

Graphentheoretische Zählungen

Übungen

2. Endliche Kombinatorik

Einführung

Mengen aus Tupeln

Urnen-Modelle

Endliche Wahrscheinlichkeitsräume

Multinomial-Koeffizienten

Surjektive Tupel und die Einschluss-Ausschluss-Formel

Übungen

3. Unendliche Mengen

Dedekind-Unendlichkeit

Abzählbar unendliche Mengen

Überabzählbare Mengen

Mächtigkeitsvergleiche

Die Kontinuumshypothese

Übungen

4. Die Axiome der Mengenlehre

Die Russell-Zermelo-Antinomie

Die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik

Instanzen des Komprehensionsschemas

Wegfall des Russell-Zermelo-Paradoxons

Echte Klassen

Reguläre Mengen

Übungen

5. Ein Fundament der Mathematik

„Alles ist eine Menge“

Einfache Mengenbildungen

Natürliche Zahlen als Mengen

Ganze und rationale Zahlen als Mengen

Reelle Zahlen als Mengen

Analyse der Konstruktionen

Übungen

6. Das Auswahlaxiom

Äquivalenzen und Folgerungen des Axioms

Das Zornsche Lemma

Die relative Widerspruchsfreiheit des Auswahlaxioms

Konsequenzen für die Maßtheorie

Übungen

Anhänge

1. Symbolverzeichnis

2. Index