Ein Abschluss-Prozess der Länge ω

 Hier ist ein einfaches Problem. Sei X eine beliebige nichtleere Menge. Weiter seien f : X → X  eine Funktion und X₀ ⊆ X.

 Jeder Mathematiker sieht schnell, dass Y existiert, und gibt wahrscheinlich eine der beiden folgenden Antworten.

 Dies ist die harte Lösung des Problems „von oben“. Die Überlegung ist hier: X selbst erfüllt (i) und (ii), und diese beiden Bedingungen sind schnittstabil. Feiner als „separate and cut“ ist jedoch die Lösung „von unten“:

Hierzu definieren wir rekursiv

X_n + 1  =  X_n ∪ f [ X_n ]  für n  ∈  ω

und setzen

Y  =  ⋃_{n  ∈  ω} X_n

Wir fügen zu X₀ das Bild f [ X₀ ] von X₀ unter f hinzu, und erhalten X₁. Dann fügen wir das Bild f [ X₁ ] von X₁ unter f hinzu usw.

 Die Kenntnis der Rekursion über die natürlichen Zahlen vorausgesetzt, sind die Beweise der Korrektheit der beiden Antworten jeweils elementar. Die zweite Methode zur Identifizierung von Y liefert eine ⊆-aufsteigende Folge

X₀  ⊆  X₁  ⊆  X₂  ⊆  …  ⊆  X_n  ⊆  …

von Approximationen an Y. Damit können wir eine Funktion δ : Y → ω definieren, die die minimale Anzahl von Schritten angibt, die notwendig ist, um ein gegebenes y  ∈  Y von X₀ aus mittels der Funktion f zu erreichen. Wir setzen hierzu X₋₁ = ∅ und definieren für alle y  ∈  Y:

δ(y)  =  „das eindeutige n  ∈  ω mit y  ∈  X_n − X_n − 1“

Fassen wir G = (X, f) als einen gerichteten Graphen auf (mit Kanten von x nach f (x) für alle Ecken x  ∈  X), so ist

δ(y)  =  d(y, X₀)  =  min { d(y, x) | x  ∈  X₀ }

mit dem üblichen Abstand d auf G.

 Die Darstellung  Y = ⋃_{n  ∈  ω} X_n  erlaubt zudem Induktionsbeweise über Y: Wir können für eine Eigenschaft φ die Aussage ∀x ∈ Y φ(x) zeigen durch einen induktiven Beweis von ∀n ∈ ω ∀x ∈ X_n φ(x).

 Solche Vorteile hat die erste Antwort nicht zu bieten. Die zweite Methode rollt die gesuchte Menge wie einen unendlichen Teppich vor uns aus und zeigt uns dadurch, wie sie aufgebaut ist. Die Menge Y erscheint in geschichteter Form, die Mengen X_n entsprechen den Baumringen eines Baumstamms.

 Analoge Konstruktionen von „oben und unten“ tauchen in der Mathematik auch an anderen Stellen auf. Würden Sie den von zwei Vektoren im ℝ³ erzeugten Unterraum als Schnitt aller Unterräume definieren, die die beiden Vektoren enthalten? Die alternative Spann-Darstellung liefert ein klareres Bild über diesen Unterraum. Welche der beiden Darstellungen zur Definition verwendet wird und welche dadurch zum Satz wird, spielt letztendlich keine Rolle. Wichtig ist, dass es die „ausbreitende Darstellung“ von unten gibt.

 Der obige Abschluss-Prozess zur Gewinnung von Y hat die Länge ω: Nach ω-vielen vielen Schritten bilden wir die Vereinigung aller Schichten X_n und sind fertig. Bei komplexeren Konstruktionen kann es nun vorkommen, dass ω-viele Schritte nicht ausreichen. Ein Fall, bei welchem unsere erste überabzählbare Ordinalzahl ω₁ als Länge der Rekursion erscheint, taucht bei einem Grundbegriff der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie auf. Wir beschränken uns hier auf die reellen Zahlen und erinnern an folgenden Begriff: Ein Mengensystem 𝒜 ⊆ ℘(ℝ) heißt eine σ-Algebra auf ℝ, wenn gilt:

Die einfachsten σ-Algebren auf ℝ sind { ∅, ℝ } und ℘(ℝ). Weiter ist

𝒜  =  { A ⊆ ℝ | A ist abzählbar oder gleichmächtig zu ℝ }

eine σ-Algebra. Gilt die Kontinuumshypothese, so gilt 𝒜 = ℘(ℝ). Andernfalls ist 𝒜 echt kleiner als ℘(ℝ).

 Die vielleicht wichtigste σ-Algebra auf ℝ entsteht aus den offenen und abgeschlossen Mengen. Diese σ-Algebra betrachten wir nun genauer.