Ein Abschluss-Prozess der Länge ω₁

Sei 𝒪 das System der offenen Mengen auf ℝ.

Frage

Was ist das ⊆-kleinste 𝒜 ⊆ ℘(ℝ) mit den Eigenschaften:

(i)

𝒪 ⊆ 𝒜

(ii)	𝒜 ist eine σ-Algebra auf ℝ?

Antwort A

𝒜 = ⋂ { 𝒜′ ⊆ ℘(ℝ) | 𝒜′ erfüllt (i) und (ii) }

Antwort B

𝒜 =	„der Abschluss von 𝒪 unter abzählbaren Vereinigungen und
	Komplementbildung“

Für die zweite Antwort definieren wir rekursiv zwei ω₁-Folgen

〈 Σ_α | α < ω₁ 〉 und 〈 Π_α | α < ω₁ 〉.

Solche transfiniten Rekursionen verlaufen analog zu Rekursionen über den natürlichen Zahlen: Zur Definition von Σ_α dürfen wir auf alle Σ_β zurückgreifen mit β < α. Ein allgemeiner Satz von John von Neumann besagt, dass solche rekursiv definierten Objekte eindeutig existieren.

Rekursionsanfang

Σ₀ = 𝒪, Π₀ = { ℝ − A | A  ∈  Σ₀ } = { A ⊆ ℝ | A ist abgeschlossen }

Rekursionsschritt

Sei α < ω₁, und seien Σ_β, Π_β konstruiert für alle β < α. Wir setzen

Σ_α = { ⋃ ℬ | ℬ ist eine abzählbare Teilmenge von ⋃_β < α (Σ_β ∪ Π_β) }

Π_α = { ℝ − A | A  ∈  Σ_α }

Dann ist

𝒜 = ⋃_α < ω₁ Σ_α = ⋃_α < ω₁ Π_α

die gesuchte σ-Algebra. Es ist leicht nachzuweisen:

(+) Σ_β ⊆ Σ_α, Σ_β ⊆ Π_α, Π_β ⊆ Σ_α, Π_β ⊆ Π_α für alle β < α < ω₁

Wir erhalten also eine Hierarchie von Mengensystemen, die 𝒜 ausschöpfen.

Bemerkungen zur Konstruktion

Die Mengen Σ_α ∪ Π_α für α < ω₁ sind unsere Approximationen an das gesuchte 𝒜. Die Definition von Σ₀ und Π₀ ist klar. Nun schließen wir die Menge Σ₀ ∪ Π₀ unter abzählbaren Vereinigungen ab. Danach bilden wir Komplemente. Dadurch gibt es unter Umständen neue abzählbare Vereinigungen. Also schließen wir unsere Approximation wieder unter diesen Vereinigungen ab und bilden Komplemente usw. Aber auch nach ω-vielen Schritten sind wir nicht fertig: Bilden wir

𝒞 = ⋃_{n  ∈  ω} (Σ_n ∪ Π_n),

so existieren (wie sich mit einem Diagonalargument nachweisen lässt) Mengen A_n  ∈  Σ_n ∪ Π_n für n  ∈  ω mit

⋃_{n  ∈  ω} A_n  ∉  𝒞.

Also müssen wir erneut unter abzählbaren Vereinigungen abschließen usw. usf. Die Präzisierung von „usw. usf.“ sind hier die abzählbaren Ordinalzahlen.

Warum sind wir nach ω₁-vielen Schritten fertig? Um dies einzusehen, betrachten wir eine abzählbare Menge

ℬ ⊆ 𝒜 = ⋃_α < ω₁ Σ_α.

Jeder Menge B in ℬ können wir ihren Konstruktionsindex zuordnen, also das kleinste α < ω₁ mit B  ∈  Σ_α ∪ Π_α. Wir erhalten dadurch abzählbar viele Indizes, und das Supremum σ dieser Indizes ist kleiner als ω₁. Denn ω₁ ist nicht in abzählbar vielen Schritten von unten erreichbar, da die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Ordinalzahlen abzählbar ist. Dann wird aber ⋃ ℬ spätestens an der Stelle σ < ω₁ konstruiert. Also ist ⋃ ℬ  ∈  𝒜.

Das Mengensystem 𝒜 heißt die Borel-σ-Algebra auf ℝ. Es lässt zeigen, dass die Inklusionen der Approximationen in (+) stets echt sind. Wir müssen also wirklich ω₁-viele Schritte machen, um zu 𝒜 zu gelangen. Die Approximationen Σ_α und Π_α bilden die Borel-Hierarchie.

Wie im ersten Beispiel haben wir gegenüber der Schnittdefinition Vorteile:

(1)	Ein besseres Verständnis von 𝒜.

(2)	Ein Maß für die Komplexität einer Menge in 𝒜: Die Stelle, an der die Menge zum ersten Mal in einer Approximation erscheint (Konstruktionsindex).

(3)	Die Möglichkeit, Aussagen über 𝒜 durch Induktion (der Länge ω₁) zu zeigen, und Rekursionen entlang der Borel-Hierarchie zu führen.

Wir diskutieren ein Beispiel für (3) etwas ausführlicher.