Semantik der Junktoren

 In den folgenden Abschnitten diskutieren wir die Bedeutung (Semantik) und Verwendung der Junktoren unter verschiedenen Gesichtspunkten:

Junktoren in der Umgangssprache und in der Mathematik

 Feinsinnige umgangssprachliche Schattierungen der Junktoren fallen in der Mathematik weg. Ein Beispiel ist: „Ich werde krank und gehe ins Krankenhaus“  (um gesund zu werden), im Gegensatz zu „Ich gehe ins Krankenhaus und werde krank“  (weil ich mich angesteckt habe). In der Mathematik ist „A und B“ stets gleichwertig zu „B und A“.

 Ebenso ist „A oder B“ mathematisch immer gleichwertig zu „B oder A“. Umgangssprachlich ist dagegen der Satz „Verlassen Sie mein Haus oder ich rufe die Polizei.“ vollkommen natürlich, während „Ich rufe die Polizei oder Sie verlassen mein Haus.“ befremdlich wirkt, und allenfalls dazu verwendet werden kann, um dem Dieb mitzuteilen, dass er bei einem Mathematiker eingebrochen ist.

 Ein logisch korrektes „oder“ kann in der Umgangssprache unangemessen oder unhöflich sein: „Kommst Du oder Deine Frau zu meiner Feier?“ fragt man nicht, wenn man beide eingeladen hat. Ebenso antwortet man auf die Frage „Willst du hier bleiben oder nach Hause gehen?“ nicht mit einem logisch korrekten „Ja“, sondern man sagt, was man möchte.

 Das mathematische „oder“ wird durchgehend in einem nicht ausschließlichen Sinne verwendet, ist also von einem „entweder … oder“ zu unterscheiden. Das umgangssprachliche „oder“ wird dagegen manchmal ausschließlich verwendet und manchmal auch nicht. Wenn die Mutter ihr Kind fragt: „Willst du nun den gelben oder den roten Ball?“, so ist „Beide!“ als Antwort zwar alles andere als unwahrscheinlich, entspricht aber nicht der Intention der Fragenden. Dagegen lässt die Frage „War Alkohol oder Übermüdung der Grund für den Unfall?“ die Antwort „Wohl beides!“ zu, die vom Sprecher vielleicht sogar erwartet wird.

 Auf der anderen Seite gibt es auch Wendungen der Umgangssprache, die den mathematischen Gebrauch einer logischen Verknüpfung illustrieren. Der Satz: „Wenn Du ein guter Koch bist, bin ich der Kaiser von China.“ ist eine witzige Variante von „Du bist ein miserabler Koch.“. Eine solche Behauptung kann Diskussionen auslösen, dagegen wird man in der Mathematik keinen Widerspruch ernten, wenn man behauptet: „Wenn 4 ungerade ist, so ist 0 = 1.“

Hierarchischer Aufbau der Junktoren

 Die Aufgabe, die Semantik der mathematischen Junktoren zu präzisieren, können wir durch einen hierarchischen Aufbau reduzieren, bei dem lediglich die Negation und die Konjunktion als Grundverknüpfungen angesehen werden. Die anderen Junktoren können dann nämlich wie folgt eingeführt werden:

 Es bleibt nun nur noch die Aufgabe, die Basisjunktoren „und“ und „non“ zu präzisieren. Die Konjunktion bereitet kaum Probleme: „A und B“ bedeutet „sowohl A, als auch B“. Zur Semantik der Negation bemerken wir, dass wir sie im „klassischen“ Sinne verstehen, d. h. eine doppelte Negation „non non A“ ist stets gleichwertig zu A. Als Regel: Wir dürfen doppelte Negationen streichen. Viel mehr kann man an dieser Stelle nicht sagen. Weitere Einsichten in die Semantik der Konjunktion und der Negation werden wir aber unten bei der Diskussion der Wahrheitstafeln und der Verwendung der Junktoren in mathematischen Beweisen gewinnen.

 Die Definition der Junktoren „oder“, „impliziert“ und „genau dann, wenn“ ist ein Beispiel für zwei tragende Prinzipien wissenschaftlicher Vorgehensweise:

Reduziere Probleme so weit wie möglich.

Definiere Neues unter Verwendung des Alten.

Die erste Maxime befreit uns von unnötigen Komplexitäten und erlaubt uns in vielen Fällen, die Dinge klarer zu sehen. Die zweite Maxime führt darüber hinaus zu einem Begriffsgebäude, das auf möglichst wenigen Grundbegriffen ruht. In höchster Strenge und Vollkommenheit ist die Befolgung der zweiten Maxime nur in der Mathematik möglich − und nötig.

 Wie in vielen anderen Situationen gibt es auch im vorliegenden Fall verschiedene Möglichkeiten der Problemreduktion. Wir hätten auch „oder“ und „non“ als Basisjunktoren betrachten können (und wir hätten dann A ∧ B definiert als ¬ ( ¬ A ∨ ¬ B)). Weiter gibt es einen interessanten hierarchischen Aufbau der Junktoren, der auf den Basisjunktoren „und“ und „impliziert“ beruht und also die Negation als einen definierten Junktor ansieht. Hierzu führen wir ein spezielles Aussagensymbol ⊥ ein, das sog. Falsum. Semantisch steht das Falsum für eine Aussage wie 0 = 1. Nun definieren wir:

¬ A  als  A  →  ⊥,

und A ∨ B und A ↔ B wie oben. Damit sind dann alle Junktoren auf die Junktoren ∧, → und das Aussagensymbol ⊥ zurückgeführt. Wir kommen auf diesen Ansatz, der die für das mathematische Beweisen so zentrale Implikation an die Spitze stellt, noch zurück.

Junktoren und Wahrheitswerte

 Dem Leser wird aufgefallen sein, dass wir bislang nicht von der „Wahrheit“ oder „Falschheit“ einer Aussage gesprochen haben, und auch nicht von ihrer „Gültigkeit“ oder „Ungültigkeit“. Er wird vielleicht semantische Erklärungen der Form

„A ∧ B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr ist.“,

„A → B ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.“

erwartet haben. Der Grund für das Fehlen solcher Wendungen ist, dass „wahr“ und „falsch“ selbst eine sehr schwierige Semantik haben und damit keine Patentlösung sind, die mathematischen Junktoren zu erläutern. Sicherlich ist gegen eine Behauptung wie „Die Aussage ‚5 ist eine gerade Zahl.‘ ist falsch.“ nicht viel einzuwenden, denn man kann diese Behauptung einfach als die einfachere Behauptung lesen, dass 5 eine ungerade Zahl ist. Problematisch ist nun aber die Sicht, dass jede mathematische Aussage wahr oder falsch ist. Denn man darf fragen: Ist mathematische Wahrheit mehr als Beweisbarkeit? Wer hier mit „ja“ antwortet, muss auf die Nachfrage, was dieses Mehr genau ist, eine Antwort bereithalten und hier gelangen wir dann sehr schnell von der Mathematik zur Philosophie der Mathematik. Wer aber mit „nein“ antwortet, muss die Ansicht, dass jede mathematische Aussage wahr oder falsch ist, aufgeben, denn es gibt mathematische Aussagen, die sich weder beweisen noch widerlegen lassen. (Das ist das Thema der berühmten Gödelschen Unvollständigkeitssätze.)

 Wir wollen hier die Wahrheitsdiskussion gar nicht erst eröffnen. Das ist auch gar nicht notwendig, und zudem fehlt uns an dieser Stelle ohnehin die für eine derartige Diskussion notwendige mathematische Erfahrung und ein Einblick in das mathematische Beweisen. Statt den Boden der Mathematik zu verlassen, wollen wir versuchen, die Mathematik zu finden, die in den vertrauten Sprechweisen „wahr“ und „falsch“ steckt. Wir betrachten also die Junktoren selbst als gewisse Gegenstände der Mathematik und nicht als Bestandteile ihrer Sprache. Anschließend können wir dann fragen, was sich von unseren Untersuchungen auf die mathematische Sprache übertragen lässt.

 Die „Mathematisierung“ der Junktoren verläuft wie folgt: Wir arbeiten mit zwei prinzipiell beliebigen sog. Wahrheitswerten „w“ und „f“. Liegt nun eine mit Hilfe von Junktorenzeichen ¬, ∧, …, Aussagensymbolen A, B, C, … und Klammern gebildete Aussage vor (eine bestimmte Zeichenkette wie ¬ A ∧ (B → C)), so weisen wir den darin enthaltenen Aussagensymbolen Wahrheitswerte „w“ oder „f“ zu, z. B. A = „w“, B = „f“, C = „f“, usw., und errechnen dann eindeutig den Wahrheitswert „w“ oder „f“ der zusammengesetzten Aussage. Um diese Berechnung durchführen zu können, müssen wir nur angeben, wie die Junktoren auf den Wahrheitswerten „w“ und „f“ operieren. Dies geschieht durch Angabe von sog. Wahrheitstafeln für die Junktoren. Wir wählen ∧ und ¬ als Basisjunktoren und legen folgende Wahrheitstafeln für diese Junktoren fest:

 Die dritte Zeile der ∧-Tafel besagt z. B.: Hat A den Wert „f“ und B den Wert „w“, so hat die Aussage A ∧ B den Wahrheitswert „f“. Die Tafel für die Negation kann man so zusammenfassen: Der Wahrheitswert von ¬ A ist immer der entgegengesetzte Wahrheitswert von A. Folglich ist z. B. der Wahrheitswert von ¬ ¬ A stets gleich dem Wahrheitswert von A. Das Streichen der doppelten Negation steckt hier also in der Wahrheitstafel der Negation.

 Aus der Definition von A ∨ B als ¬ (¬A ∧ ¬ B) errechnet sich dann die folgende Wahrheitstafel für die Disjunktion:

 Die Ziffern unter den Spalten der rechten Tafel geben die Reihenfolge an, in der die Spalten gefüllt werden. Sie ergeben sich aus dem Aufbau der Aussage. Die letzte gefüllte Spalte ist die Ergebnisspalte der Wahrheitstafel.

 Ebenso erhalten wir die folgende Wahrheitstafel für die Implikation:

 Der Leser wird analog die vier Zeilen w w w, w f f, f f w, f w f für die Wahrheitstafel der Äquivalenz A ↔ B finden.

 Als ein etwas komplexeres Beispiel berechnen wir noch die Wahrheitstafel des sog. Kontrapositionsgesetzes, also der Aussage (A → B) ↔ (¬ B → ¬ A):

 Ist die Ergebnisspalte einer Wahrheitstafel durchgehend mit „w“ gefüllt, so nennt man die betrachtete Aussage allgemeingültig oder eine Tautologie. Das Kontrapositionsgesetz ist also ein Beispiel für eine Tautologie. Einfachere Beispiele sind die Tautologien A → A, A ∨ ¬ A, A ↔ A, A ↔ ¬ ¬ A.

 Wahrheitstafeln für Aussagen zu erstellen kann schnell sehr aufwendig werden. Ist eine Aussage aus A₁, …, A_n aufgebaut, so besteht die zugehörige Wahrheitstafel aus 2ⁿ Zeilen, da alle möglichen w-f-Kombinationen für die Aussagensymbole A₁, …, A_n berücksichtigt werden müssen.

 Zur Klärung der Bedeutung des Wahrheitstafelverfahrens betrachten wir die logischen Verknüpfungen unter einem weiteren Gesichtspunkt:

Junktoren in mathematischen Beweisen

 In mathematischen Beweisen werden bestimmte Schlussregeln verwendet, und diese Schlussregeln werfen vielleicht das beste Licht auf die Junktoren. Wir betrachten hierzu obigen Ansatz mit ∧ und → als Basisjunktoren sowie einem speziellen Aussagensymbol, dem Falsum ⊥, das insbesondere der Definition von ¬ A als A → ⊥ dient. Beweise entstehen, indem wir bestimmte Aussagen als Annahmen ansehen und dann wiederholt Schlussregeln auf diese Annahmen anwenden. Eine Annahme A gilt als Beweis von A unter der Annahme A. Was darüber hinaus als Beweis gilt, wird durch folgende Schlussregeln beschrieben:

 Die Regel (S4) ist scholastisch auch als modus ponens bekannt, (S6) als ex falso quodlibet und (S7) als duplex negatio affirmat. Weitere Schlussregeln muss man nicht zulassen, alle anderen mathematischen Argumente wie z. B. die Fallunterscheidung lassen sich aus diesen Regeln gewinnen.

 In unseren Schlussregeln ist von „wahr“ und „falsch“ nicht einmal mehr symbolisch die Rede. Es geht nur noch um Beweisbarkeit.

 Während einer Beweisführung darf man jederzeit beliebige Annahmen machen. Einzig die Regel (S5) erlaubt es dann, sich von einer Annahme auch wieder zu befreien. Die Regel (S5) wird deswegen auch als Abbinden von Annahmen bezeichnet. Bei allen anderen Schlussregeln bleibt die Abhängigkeit der bewiesenen Aussage von den bislang gemachten Annahmen erhalten.

 Wir beweisen zur Illustration der Schlussregeln die Implikation von „links nach rechts“ (die sog. Hin-Richtung) im Kontrapositionsgesetz, also die Aussage (A → B) → (¬ B → ¬ A). Hierbei sind A und B beliebige Aussagen.

 Dieses Argument können wir kompakt als Beweisbaum notieren, in dem Anwendungen von Schlussregeln durch waagrechte Striche dargestellt werden:

 Natürlich werden Beweise normalerweise nicht in dieser Ausführlichkeit geführt. Häufig auftauchende Argumentationsmuster werden in kompakter Form verwendet, und bereits bewiesene Resultate können als Hilfssätze verwendet werden. Prinzipiell haben wir für die Aussagenlogik aber nicht mehr zur Verfügung als obige elementare Schlussregeln.

 Nach diesen Ausführungen können wir nun genau angeben, was das Wahrheitstafelverfahren leistet. Es gilt, wie man zeigen kann, der folgende Satz:

 Ein argumentativer Beweis einer Aussage führt in vielen Fällen zu einem besseren Verständnis als das mechanische Wahrheitstafelverfahren. So zeigt zum Beispiel obige Argumentation, dass die ex falso quodlibet und die duplex negatio affirmat Regel in einem Beweis der Hin-Richtung nicht verwendet werden müssen. Für die Rück-Richtung (¬ B → ¬ A) → (A → B) wird dann aber die Regel (S7) gebraucht. Damit bringt diese Analyse eine Asymmetrie im Kontrapositionsgesetz ans Licht: Die Rück-Richtung ist logisch komplizierter als die Hin-Richtung.

 Die Implikation an die Spitze zu stellen und mit Hilfe von Schlussregeln zu beschreiben entspricht nicht zuletzt auch der mathematischen Erfahrung. Die Tautologie A → B ↔ (¬ A ∨ B) ist zwar vielfach nützlich, jedoch wird die Implikation A → B von vielen Mathematikern nicht als ein statisches ¬ A ∨ B empfunden, sondern als eine dynamische Beziehung zwischen A und B. Bei einem Beweis von A → B werden oft bestimmte innere Vorstellungen über den Gehalt von A in solche über den Gehalt von B übergeführt, und dieser Vorgang ist dynamisch und verläuft in der Regel über mehrere Zwischenstufen. Zu klären, welche Implikationsverhältnisse zwischen verschiedenen Begriffen bestehen, ist ein Grundmuster der mathematischen Tätigkeit und führt oft zu neuen Begriffsbildungen und Fragen. Die bewiesenen Implikationen dienen weiter dann dazu, in komplexeren Beweisen schnell voranzukommen: Hat man A bewiesen und weiß man aus einem früheren Beweis, dass A → B gilt, so hat man nach der modus ponens Schlussregel B bewiesen. Die Implikation darf damit als die Königin unter den mathematischen Junktoren gelten. Zugleich ist die Schlussregel des modus ponens die wichtigste Regel, die uns von bereits bewiesenen Aussagen zu neuen bewiesenen Aussagen führt.