2. Mengen
Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre − und damit einer der Mitbegründer der modernen Mathematik − hat Ende des 19. Jahrhunderts folgende intuitive Beschreibung des Mengenbegriffs gegeben:
„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“
Ist M eine Menge und ist x ein Element von M, so schreiben wir
x ∈ M. (Elementrelation)
Das Zeichen ∈ ist ein stilisiertes griechisches ε (Epsilon). Wir lesen den Ausdruck „x ∈ M“ als „x ist ein Element von M“, „x epsilon M“, „x ist in M als Element enthalten“ oder kurz als „x in M“.
Was genau eine Menge ist, lässt sich immer nur umschreiben, aber nicht im üblichen Sinne definieren. Der Mengenbegriff ließe sich nur dann exakt definieren, wenn man auf andere wiederum undefinierte Grundbegriffe zurückgreifen wollte. Irgendwo muss man anfangen, die reine Logik genügt für die Mathematik nicht. Speziell der Mengenbegriff hat sich als undefinierter Grundbegriff sehr gut bewährt. Alles lässt sich auf ihn zurückführen, weitere undefinierte Grundbegriffe müssen nicht verwendet werden. Anders: Wir dürfen annehmen, dass jedes mathematische Objekt eine Menge ist. Wir werden im weiteren Verlauf an einigen Stellen andeuten, wie eine derartige mengentheoretische Interpretation von mathematischen Objekten wie Relationen, Funktionen, Zahlen durchgeführt werden kann. Zum Verständnis der Grundlagen der Mengenlehre und zur sicheren Beherrschung der mengentheoretischen Sprechweisen sind genauere Einblicke in diesen universellen Aspekt des Mengenbegriffs aber nicht notwendig.
Wir beschränken uns hier auf Mengen, die aus mathematischen Objekten gebildet sind und engen also Cantors allgemeineren Mengenbegriff etwas ein, der beliebige Objekte „unserer Anschauung oder unseres Denkens“ zulässt. Wir bilden also z. B. keine Mengen aus Äpfeln oder Birnen.
Innerhalb einer axiomatischen Mengenlehre wird die Existenz von Mengen durch Axiome genauer geregelt. Für uns genügt Cantors Beschreibung, und wir bilden Mengen in einer sehr freien Art und Weise. Auf die logischen Probleme einer beliebigen „Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen“ werden wir unten aber noch zu sprechen kommen.