Operationen mit Mengen
Wir definieren eine Reihe von häufig verwendeten elementaren Operationen mit Mengen.
Definition (elementare Mengenoperationen)
Für alle Mengen A, B setzen wir:
| A ∩ B | = { a | a ∈ A ∧ a ∈ B }, (Durchschnitt) |
| A ∪ B | = { a | a ∈ A ∨ a ∈ B }, (Vereinigung) |
| A − B | = A \ B = { a | a ∈ A ∧ a ∉ B }, (Differenz) |
| Ac | = { a ∈ M | a ∉ A } für eine Grundmenge M, (Komplementbildung) |
| A Δ B | = (A − B) ∪ (B − A). (symmetrische Differenz) |
Die elementaren Mengenoperationen können wir mit Hilfe von Diagrammen leicht visualisieren. Die hervorgehobenen Bereiche deuten dabei das Ergebnis der durchgeführten Operationen an.
A ∩ B
A ∪ B
A − B
A Δ B
Die Komplementbildung bezüglich einer Grundmenge M stellt man oft in der folgenden Form dar:
Ac = M − A
Mengendiagramme wurden seit Leibniz und Euler benutzt. Visualisierungen des obigen Typs wurden dann vor allem von John Venn verwendet und werden in der Literatur heute auch oft als Venn-Diagramme bezeichnet.
Die beiden folgenden Diagramme visualisieren schließlich die symmetrischen Differenzen (A Δ B) Δ C mit 7 Schnitt-Teilen sowie ((A Δ B) Δ C) Δ D mit 15 Schnitt-Teilen. (Vgl. hierzu auch die Übungen 9 und 10.)
(A Δ B) Δ C
((A Δ B) Δ C) Δ D
Einige Rechengesetze der Operationen ∩, ∪, − , … behandeln wir in den Übungen.
Mit Hilfe der geordneten Paare können wir nun auch Produkte definieren:
Definition (Kreuzprodukt)
Für alle Mengen A, B setzen wir:
A × B = { (a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B }.
Die Menge A × B heißt das Kreuzprodukt oder kartesische Produkt von A und B.
Hierbei ist die operationale Komprehension
{ (a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B }
eine Kurzschreibweise für die Komprehension
{ z | ∃a ∈ A ∃b ∈ B z = (a, b) },
die von der Form { z | ℰ(z) } ist. Derartige Varianten der Komprehension verwenden wir von nun an ohne weiteren Kommentar.
Wir definieren A × B × C = (A × B) × C, usw. Es gilt dann nach obiger Definition des Tripels (a, b, c) als ((a, b), c) wie gewünscht:
A × B × C = { (a, b, c) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C }.
Wir schreiben oft auch A2 anstelle von A × A. Weiter sei A3 = A2 × A, usw.