Rechengesetze und Ordnung der rationalen Zahlen
Für die rationalen Zahlen gelten (aufgrund der Analogie der Konstruktion) alle Rechengesetze aus der obigen Tabelle für ℤ. Zusätzlich gilt nun aber wegen q−1 = 1/q für alle q ≠ 0 wie gewünscht:
Satz (Existenz von multiplikativen Inversen für rationale Zahlen ungleich 0)
Für alle q ∈ ℚ − { 0 } gilt q · q−1 = 1.
Dass die Null eine Sonderrolle bei der Multiplikation bei Vorhandensein einer Subtraktion spielen muss, kann man zum Beispiel so einsehen: Soll 0 + 0 = 0, 0 ≠ 1 und das Distributivgesetz (a + b) c = ac + bc gelten, so kann die Null kein multiplikatives Inverses haben, d. h. es kann kein a geben mit 0 · a = 1. Denn wegen
0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a
gilt 0 · a = 0 (durch Subtraktion von 0 · a auf beiden Seiten). Eine gute Addition zusammen mit dem Distributivgesetz schließt also die Existenz eines multiplikativen Inversen der Null aus. Um so erfreulicher ist, dass multiplikative Inverse in den rationalen Zahlen für alle q ≠ 0 existieren.
Die Ordnung auf ℚ kann mit Hilfe der Ordnung auf ℤ wie folgt definiert werden:
Definition (Ordnung auf ℚ)
Wir setzen für alle a, b, c, d ∈ ℤ mit b, d > 0:
a/b ≤ c/d, falls a · d ≤ c · b.
Dann ist ≤ eine wohldefinierte lineare Ordnung auf ℚ. Wir erweitern die früheren Sprechweisen (positiv, negativ, Betrag, …). Die Ordnung respektiert erneut die Arithmetik auf ℚ.
Wesentliche Struktureigenschaften der rationalen Ordnung sind:
Satz (Struktur der Ordnung auf ℚ)
(a) | Für alle q < p in ℚ existiert ein r ∈ ℚ mit q < r < p. (Dichtheit) |
(b) | Für alle q ∈ ℚ existieren p, r ∈ ℚ mit p < q < r. (Unbeschränktheit) |
Man kann zeigen, dass diese beiden Bedingungen zusammen mit der Abzählbarkeit von ℚ die Ordnung bis auf Isomorphie festlegen, d. h. jede abzählbare, dichte und unbeschränkte lineare Ordnung (M, ≤) ist isomorph zur Ordnung auf den rationalen Zahlen. Wir diskutieren diesen Satz in den Übungen mit Lösungshinweisen.