Angeordnete Körper
Wir wollen nun noch den Ordnungsaspekt in unsere Betrachtungen integrieren.
Definition (angeordneter Körper)
Sei K ein Körper, und sei ≤ eine lineare Ordnung auf K. Dann heißt (K, +, ·, 0, 1, ≤) (oder kurz K) ein angeordneter Körper, falls für alle a, b, c ∈ K gilt:
(i) | a ≤ b impliziert a + c ≤ b + c, |
(ii) | 0 ≤ a, b impliziert 0 ≤ a · b. |
Die rationalen Zahlen bilden, wie wir gezeigt haben, einen angeordneten Körper. (Analog bilden die ganzen Zahlen einen sog. angeordneten Ring.)
Definition (Betrag, positiv, negativ)
Sei K ein angeordneter Körper. Für jedes x ∈ K ist der Betrag von x, in Zeichen |x|, definiert durch |x| = x, falls x ≥ 0, und |x| = − x, falls x ≤ 0. Ist x ∈ K mit x > 0, so heißt x ein positives Element von K, und gilt x < 0, so heißt x ein negatives Element von K. Wir setzen
K+ = { x ∈ K | 0 < x }.
Die Menge K+ der positiven Elemente ist abgeschlossen unter der Addition und Multiplikation. Allgemein gelten in angeordneten Körpern alle vertrauten Eigenschaften für die Addition und Negation von positiven und negativen Zahlen. Eine Zusammenstellung dieser Eigenschaften findet der Leser in den Übungen.
Ein angeordneter Körper K hat die Charakteristik 0, d. h. es gilt für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1, dass n1 ≠ 0, wobei n1 = 1 + … + 1 das n-fache der 1 von K ist, d. h. wir definieren rekursiv
0 1 = 0, (n + 1) 1 = n 1 + 1 für alle n ∈ ℕ.
Die Nullteilerfreiheit eines angeordneten Körpers führt nun dazu, dass jeder angeordnete Körper die rationalen Zahlen umfasst:
Für alle n, m ∈ ℕ, m ≠ 0, identifizieren wir das Körperelement ± (n1) (m1)−1 mit ± n/m ∈ ℚ. Die Arithmetik von ℚ wird, wie man unschwer einsieht, unter dieser Identifikation respektiert. Wir können also ohne Einschränkung annehmen, dass ℚ eine Teilmenge jedes angeordneten Körpers ist. Die rationalen Zahlen sind in diesem Sinne der kleinste angeordnete Körper.